第一学期 12 月六校联合调研试题高三数学
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．记全集U ? R ，集合 A ? ?x | x2
? 16?
，集合 B ? ?x | ln x ? 0?，则(C U A) ? B
? （ ）
A． [4, ??)
B． (1, 4] C．[1, 4) D． (1, 4)
【答案】C
为虚数单位， a ? R ，“ a ? 1”是“复数 z ? a2 2．设i 1 2 ??1? i
是纯虚数”的（
）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
3．已知圆C 的圆心在直线 y ? x 上，且与 y 轴相切于点(0, 5) ，则圆C 的标准方程是（
）
A． (x ? 5)2 ? ( y ? 5)2
? 25
B． (x ? 5)2 ? ( y ? 5)2
? 25
C． (x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 5 D． (x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 5
【答案】B
4．标准对数远视力表（如图）采用的是“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“ E ”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行“ E ”的边长都是下方一行“ E ”边长的10 10 倍，若视力 4.1 的视标边长为 a ，则视力 4.8 的视标边长为（ ） A．100.8
a B．100.7
a
C．10
?0.8
a D．10
?0.7
a
【答案】D
5．已知双曲线C : x2 y2 3
a2 ? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 A，直线 y ??
2
(x ? a) 与C 的一条渐近线在第一
象限相交于点 P ，若 PA 与 x 轴垂直，则C 的离心率为（
）
1
A． 2
B． 3 C．2 D．3
【答案】C
6．已知函数 y ? f (x) 的图象如下图所示，则此函数可能是（
）
A． f (x) ?
sin 6x 2? x ? 2x
B． f (x) ? sin 6x
2x ? 2? x
C． f (x) ??cos 6x
2? x ? 2x
D． f (x) ??cos 6x
2x ? 2? x
【答案】D
7．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类 礼品中任意免费领取一件，若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概 率 是 （ ） A．
5
4
9
B． 9
C．
7
16
D． 9
16
【答案】B
解：4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数34
? 81
他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数C2
3
4 3A
? 36
∴ P ?
36 81 ? 4
9
，选 B.
8．在三棱锥 P ? ABC 中，底面 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，且 AB ? 2 ，PA ? PC ?
5 ，PB
与底面 ABC 所成的角的余弦值为
2 2
3
，则三棱锥 P ? ABC 的外接球的体积为（ ）
2
A．
9? 2
B． 89 89??6
C． 9?
D．
27??2
【答案】AB
解：①情况一：如图，取 AC 中点 M ，连接 PM ， BM ，? BA ? BC ， PA ? PC ? BM ? AC ， PM ? AC ， BM ? PM ? M ，? AC ? 平面 PBM
当?PBM 为锐角时，过 P 作 PP? ? BM 于点 P? ，? AC ? PP?， PP? ? 平面 ABC ??PBM 即为 PB 与底面 ABC 所成角，设 PB ? x ，由 BM ?
?
2 ， PM ? 3 ， cos ?PBM ??
2 2 3
得 x2 ? 2 ? 2 ? 2 ? x ?
2 2
? 3 ? x ? 3 ，? PB ? 3， P?M ? 2 ， PP? ? 1 3
过 M 作 MN ? 底面 ABC ，?O 在直线 MN 上，设OM ? t ，
2 1 3 427 9由OP ? OA ? 2 ? t 2 ? ?1? t ?? 2 ，?t ? ，?外接球半径 R ? ，V ? ?? ? ?.
2 2 3 8 2
②情况二：如图，取 AC 中点 M ，连接 PM ， BM ，? BA ? BC ， PA ? PC ，? BM ? AC ， PM ? AC ， BM ? PM ? M ，? AC ? 平面 PBM
当?PBM 为钝角时，过 P 作 PP? ? BM ，交 MB 延长线于点 P??此时 PP? ? 平面 ABC
2 2 2 2
，?cos ?PBM ? ，设 PB ? x 3 3 ? ? 2 2 1 1 1
? 3 ? x ? ，? PB ? ， P?B ? ， PP? ? 由 BM ? ， PM ? ，知 x2 ? 2 ? 2 ??2 ? x ? ?
? ? 2 3 2 2
3 3 3 9 9 ? ???PBP? 即为 PB 与底面 ABC 所成角， cos ?PBP? ?
过 M 作 MN ? 底面 ABC ，?O 在直线 MN 上，设OM ? t ， P?M ? ?
由OP ? OA ? t ??1 ???
??
??9 ?
2
2
11 2
9
? 11 2 ? 92 ? ? ??? 2? t ? t ? ，?外接球半径 R ? 2 ? 81 ??89
4 2 2 ? 9 ?
?
4 ? 89 ?
V ? ?? ? ? ??
3?2 ??
3
89 89
? .故 A，B 都有可能，虽为单选题，但是 AB 都对，出题人疏忽. 6
?
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分. 9．下列说法正确的是（
）
3
2021-2021学年第一学期12月六校联合调研试题—解析版
