专题九 解析几何
第二十六讲 椭圆
2024年
1．（2024全国I理10）已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若
|AF2|?2|F2B|，|AB|?|BF1|，则C的方程为
x2?y2?1 A．2x2y2??1 B．32x2y2??1 C．43x2y2??1 D．5412.（2024全国II理21（1））已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?.
2记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
1x2y23.（2024北京理4）已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，则
ab2（A）a?2b（C）a?2b22.
（B）3a?4b22.
（D）3a?4b
22xyM为C上一点且在第一象限.若△MF1F24.（2024全国III理15）设F1，F2为椭圆C:+?1的两个焦点，
3620为等腰三角形，则M的坐标为___________.
2010-2024年
一、选择题
x2y21．(2024全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点Pab在过A且斜率为3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的离心率为 6
B．
A．
2 3
1 2 C．
1 3 D．
1 4x2y2??1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） 2．(2024上海)设P是椭圆53
A．22 B．23 C．25 D．42 x2y2??1的离心率是 3．（2017浙江）椭圆94A．
13552 B． C． D． 3393x2y24．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为
ab直径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为
A．
6321 B． C． D． 3333x2y25．(2016年全国III)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点，A，B分别为C
ab的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 A．
13
B．
12
C．
23
D．
34
x2x2226．(2016年浙江)已知椭圆C1：2?y?1(m?1)与双曲线C2：2?y?1(n?0)的焦点重合，e1，
mne2分别为C1，C2的离心率，则
A．m?n且e1e2?1 B．m?n且e1e2?1 C．m?n且e1e2?1 D．m?n且e1e2?1
x2?y2?1上的点，则P,Q两点间的最大距离是 7．(2014福建)设P,Q分别为x??y?6??2和椭圆1022A．52 B．46?2 C．7?2 D．62
x2y2
8．（2013新课标1）已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若
ab
AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 x2y2
A．＋＝1
4536
x2y2
B．＋＝1
3627
x2y2
C．＋＝1
2718
x2y2
D．＋＝1
189
3ax2y29．(2012新课标)设F1、F2是椭圆E：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一点，
ab2
?F2PF1 是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为
A、
1 2 B、
2 3 C、
3 4 D、
4 5二、填空题
x2?y2?m(m?1)上两点A，B满足AP?2PB，则当m=___时，10．(2024浙江)已知点P(0,1)，椭圆4点B横坐标的绝对值最大．
x2y2x2y211．(2024北京)已知椭圆M：2?2?1(a?b?0)，双曲线N：2?2?1．若双曲线N的两条渐近线
abmn与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
x2y2b12．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2?2?1?a?b?0?的右焦点，直线y?ab2与椭圆交于B,C两点，且?BFC?90?，则该椭圆的离心率是 ．
yBOCFx
x2y2??1的三个顶点，且圆心在x的正半轴上，则该圆的标准方13．（2015新课标1）一个圆经过椭圆
164程为_________．
x2y2114．（2014江西）过点M(1,1)作斜率为?的直线与椭圆C：2?2?1(a?b?0)相交于A,B两点，
ab2若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ．
x2y2??1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分15．（2014辽宁）已知椭圆C：94别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|?|BN|? ．
x2y2F2，作F2作x轴的垂线与C交于16．（2014江西）设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右焦点为F1，abA，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD?F1B，则椭圆C的离心率等于________．
y217．（2014安徽）设F1,F2分别是椭圆E:x?2?1(0?b?1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于
b2A,B两点，若AF1?3BF1,AF2?x轴，则椭圆E的方程为_____．
x2y218．（2013福建）椭圆?:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c．若直线
aby?3?x?c?与椭圆?的一个交点M满足?MF1F2?2?MF2F1，则该椭圆的离心率等于
x2y219．（2012江西）椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A,B，左、右焦点分别是F1,F2．若
ab|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．
x2?y2?1的左、右焦点，点A,B在椭圆上，若F1A?5F2B；则20．（2011浙江）设F1,F2分别为椭圆3点A的坐标是 ． 三、解答题
x2?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的21．（2024全国卷Ⅰ）设椭圆C:2坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB．
x2y2??1交于A，B两点，线段AB的中点为22．（2024全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：43M(1,m)(m?0)．
(1)证明：k??1； 2(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP?FA?FB?0．证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．
x2x2523．(2024天津)设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，
3ab点A的坐标为(b,0)，且FB?AB?62． (1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y?kx(k?0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．
若
AQPQ?52sin?AOQ(O为原点) ，求k的值． 4x2y224．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，
abP3?(?1,33)，P4?(1,)中恰有三点在椭圆C上． 22(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为?1，证明：
l过定点．
x2?y2?1上，过M做x轴的垂线，垂足为25．（2017新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2N，点P满足NP?2NM．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
x2y226．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别
ab为F1，F2，离心率为
1，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直2线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2． （1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
理科数学2010-2024高考真题分类训练专题九 解析几何第二十六讲 椭圆
