这就是A点的电势UA．
过B点作一球面，B点的电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的． 球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得
R2 O R1 ?2B U2?(R2?rB2)． rB 2?0球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处
在B点产生的电势．球壳在球面内的体积为
V?包含的电量为
43π(rB?R13)， 3Q = ρV，
这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为
U1?B点的电势为
Q?3?(rB?R13)．
4π?0rB3?0rBR13?22UB = U1 + U2?(3R2?rB?2)．
6?0rB（2）A点的场强为
EA??B点的场强为
?UA?0． ?rA?UBR13?EB???(rB?2)．
?rB3?0rB[讨论]过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定
理，可得空腔中A点场强为
E = 0， (r ≤ R1)．
过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为
V?包含的电量为
4π(r3?R13)， 3q = ρV，
根据高斯定理得方程
4πr2E = q/ε0，
可得B点的场强为
R13?E?(r?2)，(R1 ≤ r ≤ R2)．
3?0r这两个结果与上面计算的结果相同．
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在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为
V?包含的电量为
43π(R2?R13)， 3q = ρV，
根据高斯定理得可得球壳外的场强为
3?(R2?R13)，(R2 ≤ r)． E??4π?0r23?0r2qA点的电势为
?3?(R2?R13)R13?(r?2)dr??dr UA??E?dl??Edr??0dr??23?0r3?0rrRR2rr??AAR1R2A1?B点的电势为
?2(R2?R12)． 2?0R2?3?(R2?R13)R13?dr (r?2)dr??UB??E?dl??Edr??23?0r3?0rrR2rr??BBBR13?22?(3R2?rB?2)． 6?0rBA和B点的电势与前面计算的结果相同．
12．22 （1）设地球表面附近的场强约为200V·m-1，方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量．
（2）在离地面1400m高处，场强降为20V·m-1，方向仍指向地球中心，试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度．
[解答]地球的平均半径为
R =6.371×106m．
（1）将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量．
根据公式
E = -σ/ε0，
电荷面密度为
σ = -ε0E；
地球表面积为
S = 4πR2，
地球所带有的总电量为
Q = σS = -4πε0R2E = -R2E/k，
k是静电力常量，因此电量为
(6.371?106)2?200Q??=-9.02×105(C)． 99?10
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（2）在离地面高为h = 1400m的球面内的电量为
(R?h)2E?=-0.9×105(C)， Q???k大气层中的电荷为
q = Q – Q' = 8.12×105(C)．
由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为
V = 4πR2h = 0.714×1018(m3)，
平均电荷密度为
ρ = q/V = 1.137×10-12(C·m-3)．
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湖南大学【大学物理】第12章静电场(大学物理学(下册)习题解答)
