E?Q，（r ≥ R）．
4π?0r2取无穷远处的电势为零，则r处的电势为
?R?U??E?dl??Edr??Edr??rrRrRQ4π?0R22?rdr??3Qdr 24π?0rR?Q8π?0R3Rr2r?Q?4π?0r?RQ(3R2?r2)Q． ??(R?r)?338π?0R4π?0R8π?0RQ证毕!
12．18 在y = -b和y = b两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为ρ，其他地方无电荷．
（1）求此带电系统的电场分布，画E-y图；
（2）以y = 0作为零电势面，求电势分布，画E-y图．
[解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E'，但方向相反． （1）在板内取一底面积为S，高为2y的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高
E' E 斯面的电通量为 S0 S2 S1 ?e?E?dS?E?dS?E?dS?E?dS?2ES． b -b O S1S2S0Sy S 高斯面内的体积为 2S0 V = 2yS， E' E 包含的电量为 S1 b b q = ρV = 2ρSy，
根据高斯定理
Φe = q/ε0，
可得场强为
E = ρy/ε0， (-b ≤ y ≤ b)．
穿过平板作一底面积为S，高为2y的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地
Φe = 2ES，
高斯面在板内的体积为
V = S2b，
包含的电量为
q = ρV = ρS2b，
根据高斯定理
Φe = q/ε0，
可得场强为
E = ρb/ε0， (b ≤ y)； E = -ρb/ε0， (y ≤ -b )．
E-y图如左图所示．
E U （2）对于平面之间的点，电势为
-b O b O y -b b y ???? 1
?y?y2U???E?dl???dy???C，
?02?0在y = 0处U = 0，所以C = 0，因此电势为
?y2，(-b ≤ y ≤ b)． U??2?0这是一条开口向下的抛物线．
当y ≥ b时，电势为
U???E?dl???nqb?0dy??nqb?0y?C，
在y = b处U = -ρb2/2ε0，所以C = ρb2/2ε0，因此电势为
?b?b2，(b ≤ y)． U??y??02?0当y ≤ -b时，电势为
U???E?dl???b?bdy?y?C， ?0?0在y = -b处U = -ρb2/2ε0，所以C = ρd2/2ε0，因此电势为
?b?b2， U?y??02?0两个公式综合得
?b?b2，(|y| ≥ d)． U??|y|??02?0这是两条直线．
U-y图如右图所示．U-y图的斜率就形成E-y图，在y = ±b点，电场强度是连续的，因此，在U-y图中两条直线与抛物线在y = ±b点相切．
[注意]根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即
U???E?dl
这是因为积分的起点位置是积分下限．
12．19 两块“无限大”平行带电板如图所示，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），设A和B两板相隔5.0cm，板上各带电荷σ=3.3×10-6C·m-2，求：
（1）在两板之间离A板1.0cm处P点的电势； （2）A板的电势．
[解答]两板之间的电场强度为
E=σ/ε0，
1
A P B 图12.16
方向从A指向B．
以B板为原点建立坐标系，则rB = 0，rP = -0.04m，rA = -0.05m． （1）P点和B板间的电势差为
?UP?UB??E?dl??Edr?(rB?rP)，
?0rPrP由于UB = 0，所以P点的电势为
rBrBA P B O r 3.3?10?6UP??0.04=1.493×104(V)． ?128.84?10（2）同理可得A板的电势为
UA??(rB?rA)=1.866×104(V)． ?0
12．20 电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求： （1）带电直线延长线上离中点为r处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为r处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强． [解答]电荷的线密度为λ = q/2L．
（1）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为
dq = λdl，
根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为
y -L r P1 x dU1?总电势为
1?dl
4π?0r?lO l dl L ?Ldl??U1??ln(r?l)?4π?0?Lr?l4π?0L?l??Lqr?Lln．
8π?0Lr?L（2）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl，在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为
y dU2?积分得
?dl，
4π?0(r2?l2)1/2P2 -L Lr O θ ldl L x ??122?ln(r?l?l)U2?dl221/2?4π?04π?0?L(r?l)L
l??Lqr2?L2?Lqr2?L2?L． ?ln?ln228π?0L4π?Lrr?L?L0（3）P1点的场强大小为
1
E1??方向沿着x轴正向．
P2点的场强为
q11q1?U1?(?)?， ① 224π?r?L8π?Lr?Lr?L?r00E2???U2q1r?[?]
2222?r4π?0Lrr?L(r?L?L)?q4π?0r1r?L22， ②
方向沿着y轴正向．
[讨论]习题12．3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为
E1?12L?，
4π?0x2?L2由于2Lλ = q，取x = r，就得公式①．
（2）习题12．3的解答还计算了中垂线上的场强为
Ey?12L? 224π?0d2d2?L取d2 = r，可得公式②．
由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算．
12．21 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：
（1）A，B两点的电势；
（2）利用电势梯度求A，B两点的场强．
[解答]（1）方法一：电荷填充法．在空腔中同时填充两个半径
R2 为R1，电荷体密度为ρ和-ρ的球体，这样A，B两点的电势就是半
B rB O R 径分别为R2和R1，电荷体密度分别为ρ和-ρ的实体球产生的． 1r 12．17题已经证明：离球心r（r 图12.21 Q??V=?所以 43πR， 3?(3R2?r2)，（r 1 U?Q， 4π?0r?R3即 U?，（r>R）． 3?0rA点在两个球体之内，正电荷球产生的电势为 UA2负电荷球产生的电势为 22?(3R2?rA)， ?6?02??(3R12?rA)， UA1?6?0A点的电势为 UA?UA1?UA22?(R2?R12)． ?2?0B点在正电荷球体之内，负电荷球体之外，正电荷球产生的电势为 UB2负电荷球产生的电势为 22?(3R2?rB)， ?6?0??R13． UB1?3?0rBB点的电势为 2R13?22UB?UB1?UB2?(3R2?rB?)． 6?0rB方法二：电势叠加法．A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势 就等于球心O点的电势． 在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为 dV = 4πr2dr， 包含的电量为 R2 2O dq = ρdV = 4πρrdr， R1 在球心处产生的电势为 r dq?dUO??rdr， 4π?0r?0球心处的总电势为 dr ?UO??0R2R1?rdr??2(R2?R12)， 2?0 1
湖南大学【大学物理】第12章静电场(大学物理学(下册)习题解答)
