大学物理学（下册）习题解答
十二章 静电场
P35． 12．1
12．2
12．3 如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1 = 1.8×10-9C，B点处有点电荷q2 = -4.8×10-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强．
[解答]根据点电荷的场强大小的公式
A q1 q1q， E?k2?E2 B r4π?0r2C θ q2 92-2E1 其中1/(4πε0) = k = 9.0×10N·m·C． E 点电荷q1在C点产生的场强大小为
图12.3 1.8?10?9q119?9?10??1.8?104(N?C-1)， E1??222(3?10)4π?0AC方向向下．
点电荷q2在C点产生的场强大小为
1|q2|4.8?10?99E2??9?10??2.7?104(N?C-1)， ?222(4?10)4π?0BC方向向右．
C处的总场强大小为
2?0.913?104?3.245?104(N?C-1)， E?E12?E2总场强与分场强E2的夹角为
??arctanE1?33.69?． E2
12．4 半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电荷线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．
ds R [解答]在带正电的圆弧上取一弧元
θ O Ex x ds = Rdθ，
E Ey 电荷元为dq = λds，在O点产生的场强大小为
y dE?1dq1?ds???d?，
4π?0R24π?0R24π?0R 1
场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ．
对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为
E?2Ey?2?dEsin?
L??2π?0Rπ/6?0sin?d???(?cos?)2π?0Rπ/6?(1?03?． )22π?0REx θ O E Ey ds R y x
12．5 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1，求： （1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；
（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强．
[解答]（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)． 在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl，
y 根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大dl lr 小为
P1 x dq?dldE1?k2?
r4π?0(x?l)2-L O L d1 场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得
?Ldl?1E1??4π?0??L(x?l)24π?0x?l?L
?L?1112L?(?)?． ① 4π?0x?Lx?L4π?0x2?L2将数值代入公式得P1点的场强为
2?0.1?3?10?8E1?9?10?= 2.41×103(N·C-1)， 220.18?0.19方向沿着x轴正向．
（2）建立坐标系，y = d2．在细棒上取一线元dl，所带的电量为
dq = λdl，
在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为
dE2?kdq?dl， ?r24π?0r2dE2 y dEy θ P2 dEx d2 r -L L θ O x ldl 由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为
dEy = dE2sinθ．
由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ，所以
dl = -d2dθ/sin2θ，
因此
1
dEy?总场强大小为
??sin?d?，
4π?0d2??Ey?4π?0d2??cos?sin?d??4π?d02l??LlLLL
l??L??4π?0d22d2?l2?l??L12L?． ②
224π?0d2d2?L将数值代入公式得P2点的场强为
2?0.1?3?10?8Ey?9?10?= 5.27×103(N·C-1)． 221/20.08(0.08?0.1)9方向沿着y轴正向．
[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得
E1??a?1?，
4π?0d1d1?a4π?0d1d1/a?1?， ③
4π?0d1保持d1不变，当a→∞时，可得
E1?这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小．
（2）由②式得
Ey?当a→∞时，得
?4π?0d2ad?(a/2)222??4π?0d21(d2/a)?(1/2)22，
Ey??， ④
2π?0d2这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．
如果d1 = d2，则有大小关系Ey = 2E1．
12．6 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零．
[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强． 在圆弧上取一弧元
ds =Rdφ，
所带的电量为
dq = λds，
在圆心处产生的场强的大小为
R O θ 图12.6
1
R O φ θ x dE dφ
dE?kdq?ds???d?， r24π?0R24π?0R由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为
dEx = -dEcosφ．
总场强为
??Ex?4π?0R2π??/2?/2???sin?cos?d??4π?0R2π??/2??/2??sin，
2π?0R2方向沿着x轴正向．
再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．
根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为
E???，
4π?0RE'' R O θ E' x 由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为
??2E?cosEx方向沿着x轴负向．
?2???cos，
2π?0R2`当O点合场强为零时，必有Ex?Ex，可得
tanθ/2 = 1，
因此
θ/2 = π/4，
所以
θ = π/2．
12．7 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求： （1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．
（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强． [解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为dl的带电直线，
P a b 电荷的线密度为
dλ = σdl，
根据直线带电线的场强公式
d E?得带电直线在P点产生的场强为
?， 2π?0r图12.7
Q dE?其方向沿x轴正向．
d??dl?，
2π?0r2π?0(b/2?a?l)y b a P x O dl 1
由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为
?E?2π?0??1?ln(b/2?a?l)dl?2π?0b/2?a?l?b/2?b/2b/2
?b/2?bln(1?)． ① 2π?0a场强方向沿x轴正向．
（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为dl的带电直线，电荷的线密度仍然为
x dx dλ = σdl，
带电直线在Q点产生的场强为
r θ z d??dlO d Q dE??， dE b 2π?0r2π?0(d2?l2)1/2y 沿z轴方向的分量为
dEz?dEcos??设l = dtanθ，则dl = ddθ/cos2θ，因此
?cos?dl，
2π?0(d2?l2)1/2dEz?dEcos??积分得
?d?， 2π?0Ez??b??arctan()． ② d??π?2d2π?00?arctan(b/2d)arctan(b/2d)场强方向沿z轴正向．
[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为
λ = σb，
①式的场强可化为
E??ln(1?b/a)，
2π?0ab/a当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
E?这正是带电直线的场强公式．
（2）②也可以化为
?， ③
2π?0aEz??arctan(b/2d)，
2π?0db/2d当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
1
湖南大学【大学物理】第12章静电场(大学物理学(下册)习题解答)
