知识在于积累
数理统计考试试卷及答案解析
一、填空习题(将正确答案的序号填在括号内，本题15分，每题3分)
1、总体X~N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差X?Y~________；
22、设X1,X2,...,X16为取自总体X~N(0,0.52)的一个样本，若已知?0.01(16)?32.0,则
P{?Xi2?8}=________；
i?1163、设总体X~N(?,?)，若?和?2均未知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为
21??的置信区间为(X??,X??)，则?的值为________；
4、设X1,X2,...,Xn为取自总体X~N(?,?2)的一个样本，对于给定的显著性水平?，已知关于?2检验的拒绝域为?≤?12??(n?1)，则相应的备择假设H1为________；
2
5、设总体X~N(?,?2)，在显著性水平0.05下，检验假设H0:???0,H1:???0，?2已知，拒绝域是________。
1、N(0，)； 2、0.01； 3、t?(n?1)212Sn2； 4、?2??0； 5、z??z0.05。
二、选择题(将正确答案的序号填在括号内，本题15分，每题3分)
1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，?是未知参数，以下函数是统计量的为（
）。
13（A）?(X1?X2?X3) （B）X1?X2?X3 （C）X1X2X3 （D）?(Xi??)2
3i?1?2、设X1,X2,...,Xn为取自总体X~N(?,?)的样本，X则服从自由度为n?1的t分布的统计量为（ ）。
212为样本均值，Sn1n??(Xi?X)2，ni?1（A）
n(X??)n?1(X??)n?1(X??）n(X??） （B） （C） （D）
SnSn??知识在于积累
1n3、设X1,X2,?,Xn是来自总体的样本，D(X)??存在， S?(Xi?X)2, ?n?1i?122则（ ）。
（A）S2是?2的矩估计
（B）S2是?2的极大似然估计
（D）S2作为?2的估计其优良性与分布有关
（C）S2是?2的无偏估计和相合估计
2)相互独立，样本容量分别为n1,n2，样本方差分别4、设总体X~N(?1,?12),Y~N(?2,?2222,H1:?12??2为S12,S2，在显著性水平?下，检验H0:?12??2的拒绝域为（ ）。
（A）
2s2s122s2?F?(n2?1,n1?1) （B）
2s2s122s2?F1??2(n2?1,n1?1)
（C）
s12?F?(n1?1,n2?1) （D）
s12?F1??2(n1?1,n2?1)
5、设总体X~N(?,?2)，?2已知，?未知，x1,x2,?,xn是来自总体的样本观察值，已知?的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平??0.05时，检验假设H0:??5.0,H1:??5.0的结果是（ ）。
（A）不能确定 （B）接受H0 （C）拒绝H0 （D）条件不足无法检验
1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.
三、（本题14分）
?2x0?x???, 设随机变量X的概率密度为：f(x)???2，其中未知
其他??0,参数??0，X1,?,Xn是来自X的样本，求（1）?的矩估计；（2）?的极大似然估计。 解：(1) E(X)????xf(x)dx??0???2x2dx??， 23?2???)?X??，得?令E(X233X为参数?的矩估计量。 2知识在于积累
n(2)似然函数为：L(xi,?)??i?12xi?2?2n?2n0?xi??,(i?1,2,?,n)， ?xi，i?1n??max{X,X,?,X}。而L(?)是?的单调减少函数，所以?的极大似然估计量为? 12n
四、（本题14分）设总体X~N(0,?2)，且x1,x2?x10是样本观察值，样本方差s2?2， （1）求?的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知Y?2X2?2?X2??~?(1)，求D???3?的置信??222水平为0.95的置信区间；（?0。 .975(9)?2.70，?0.025(9)?19.023）
解：
?1818??，（1）?2的置信水平为0.95的置信区间为?2即为（0.9462，6.6667）； ,2???(9)?(9)0.975?0.025??X2?1?X2?122?=???（2）D?； DD[?(1)]?2??3??2??2??2??????22??X2?22??， ??由于D?是的单调减少函数，置信区间为?,??3??2??2?2?????即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）设总体X服从参数为?的指数分布，其中??0未知，X1,?,Xn为取自总体X的样本， 若已知U?Xi~?2(2n)，求： ??i?12n（1）?的置信水平为1??的单侧置信下限；
（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。
22(?0.05(31)?44.985,?0.10(32)?42.585)。
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??2nX?2nX???2解：(1) ?P????(2n)??1??,?P???2??1??,
????(2n)?????即?的单侧置信下限为??2?16?50102nX；（2）???3764.706。 242.585??(2n)
六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度X~N(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是
22否正常？（??0.05,t0.025(9)?2.2622,?0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.700）
解：
（1）检验假设H0：?=1，H1：?≠1； 取统计量：??2
2
2(n?1)s22?0；
拒绝域为：?≤?2
21?2222
(n?1)??(9)?(n?1)??=2.70或≥??0.975?0.025=19.023， 22经计算：??2(n?1)s22?09?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)2，
12
故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?=1。
?：??10，H1?：??10； 取统计量：t?（2）检验假设H0X?10S/10~ t?(9)；
2拒绝域为t?t0.025(9)?2.2622；?t?10.8?101.2/10?， ?2.1028<2.2622 ，所以接受H0即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。
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七、（本题10分）设X1,X2,X3,X4为取自总体X~N(?,42)的样本，对假设检验问题（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若?=6，求上述检验所犯H0:??5,H1:??5，的第二类错误的概率?。
解：(1) 拒绝域为z?x?54/4?x?5?z0.025?1.96; 2（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当?=6时，接受H0的概率为
??P{1.08?X?8.92}???
?8.92?6??1.08?6???????0.921。 22????八、（本题8分）设随机变量X服从自由度为(m,n)的F分布，(1)证明：随机变量自由度为(n,m)的F分布；(2)若m?n，且P{X??}?0.05，求P{X?证明：因为X~F(m,n),由F分布的定义可令X?与V相互独立，所以
1服从 X1?}的值。
U/m，其中U~?2(m),V~?2(n)，UV/n1V/n?~F(n,m)。 XU/m11当m?n时，X与服从自由度为(n,n)的F分布，故有P{X??}?P{X?}，
X?111从而 P{X?}?P{??}?1?P{??}?1?P{X??}?1?0.05?0.95 。
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