《质数与合数》练习题
1．设a、b、c、d、e、f、g都是大于1的整数，且a与b，c与d，e与f，g与511互质，又a≤c，且还已知下面的三个式子成立：
②
③
（1）求证：d＝b，f＝b2；
（2）求a，b，c，d，e，f，g的值． 【分析】（1）先将①去分母，移项，整理成成
，由于c与d互质，得出d＝b，c①
＝b﹣a；用同样的方法得出f＝bd＝b2，bd﹣ac＝e即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出g＝bdf＝f2，bdf﹣ace＝511，即：f2﹣ace＝511⑤，借助（1）得出的结论ac＝f﹣e④，将④代入⑤得出关于e的一元二次方程，由于e，f是大于1的正整数，即可得出f＝4，9，16，25，再分别用△是完全平方数排除点不符合题意的，最后利用得出的结论即可求出a，b，c，d，e，f，g． 【解答】解：（1）①去分母得，bc+ad＝bd， ∴bc＝d（b﹣a）， ∴
，
∵a与b互质，c与d互质， ∴d＝b，c＝b﹣a； 将①整体代入②得，
去分母，移项得，bde＝bdf﹣acf， ∴bde＝f（bd﹣ac）， ∴
，
，
∵f与e互质，
∴f＝bd＝b2，bd﹣ac＝e， ∴ac＝bd﹣e＝f﹣e④， （2）由（1）知，ac＝f﹣e④，
1
将②整体代入④得，，
去分母，移项，分解得，511bdf＝g（bdf﹣ace）， ∴
∵g与511互质，
∴g＝bdf＝f2，bdf﹣ace＝511， ∴f2﹣ace＝511⑤，
将④代入⑤化简得，e2﹣fe+f2﹣511＝0， ∵e，f大于1的整数，
∴关于e的一元二次方程e2﹣fe+f2﹣511＝0有实数根， ∴△＝f2﹣4（f2﹣511）＝2044﹣3f2≥0， ∴f2≤
，
，
∵f＝b2，且b，f是大于1的整数， ∴f是大于1的完全平方数， ∴f＝4，9，16，25， ∵e为大于1整数， ∴△必须是完全平方数，
Ⅰ、当f＝4时，△＝2044﹣3×16＝1996，而1996不是平方数，不符合题意，舍， Ⅱ、当f＝9时，△＝2044﹣3×81＝1801，而1801不是平方数，不符合题意，舍， Ⅲ、当f＝16时，△＝2044﹣3×256＝1276，而1276不是平方数，不符合题意，舍， Ⅳ、当f＝25时，△＝2044﹣3×625＝169＝132， ∴g＝f2＝625 ∵f＝b2，b＝d， ∴b＝d＝5， ∵c＝b﹣a， ∴a+c＝5，
∵a≤c，且a、c是大于1的整数， ∴a＝2，c＝3，
把a＝2，c＝3，f＝25代入ac＝f﹣e中，得e＝f﹣ac＝25﹣2×3＝19； 即：a＝2，b＝5，c＝3，d＝5，e＝19，f＝25，g＝625．
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【点评】此题主要考查了互质的意义，完全平方数，一元二次方程的整数解，一元二次方程根的判别式，解（1）的关键是得出
，解（2）的关键是得出e2﹣fe+f2﹣511
＝0；整体代入是解决此题的难点；是一道难度比较大的竞赛题．
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《质数与合数》练习题(21)
