1 1 用构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。 例1:（06年福建高考题）数列?an?中,a1?1,an?1?2an?1则an? ( ) A．2 B．2?1 C．2?1 D．2解法1：an?1?2an?1
nnnn?1
?an?1?1?2an?2?2(an?1)
又a1?1?2
?an?1?1?2
an?1?an?1?是首项为2公比为2的等比数列
an?1?2?2n?1?2n,?an?2n?1,所以选C
解法2
归纳总结：若数列?an?满足an?1?pan?q(p?1,q为常数），则令an?1???p(an??)来构造等比数列，并利用对应项相等求?的值，求通项公式。
例2：数列?an?中，a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an，则an? 。 解：an?2?an?1?2(an?1?an)
?a2?a1?2 ??an?an?1?为首项为2公比也为2的等比数列。
（n>1） an?an?1?2n?1，n>1时
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)????(a2?a1)?a1?2n?1?2n?2????2?11?2n??2n?11?2
显然n=1时满足上式
an?2n?1
小结：先构造?an?1?an?等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，
例3：已知数列?an?中a1?5,a2?2,an?2an?1?3an?2,(n?3)求这个数列的通项公式。 解： ?an?2an?1?3an?2
?an?an?1?3(an?1?an?2)
又a1?a2?7,?an?an?1?形成首项为7，公比为3的等比数列，
则an?an?1?7?3n?2………………………① 又an?3an?1??(an?1?3an?2)，
a2?3a1??13，?an?3an?1?形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列
则an?3an?1?(?13)?(?1)n?2………………………② ①?3?② 4an?7?3n?1?13?(?1)n?1 ?an?7n?113?3?(?1)n?1 44小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
例4：设数列?an?的前项和为Sn,若2an?2n?Sn成立，(1)求证： an?n?2n?1是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式
证明：(1)当 n?1,b?a1?2?(b?1)a1,?a1?2
又?b?an?2n?(b?1)?Sn………………………① ?b?an?1?2n?1?(b?1)?Sn?1………………………② ②—① b?an?1?b?an?2n?(b?1)?an?1
???an?1?b?an?2n
当b?2时，有an?1?2an?2n
?an?1?(n?1)?2n?2an?2n?(n?1)?2n?2?(an?n?2n?1)
又a1?21?1?1
?an?n?2n?1为首项为1，公比为2的等比数列，
(2)an?n?2n?1?2n?1,?an?(n?1)?2n?1 小结：本题构造非常特殊，
要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。
例5：数列?an?满足a1?3,an?1?2an?3?2n?1，则an? A．(3n?1)?2 B．(6n?3)?2解：?an?1?2an?3?2n?1nn?1?? C．3(2n?1)?2n?1 D．(3n?2)?2n?1
,?an?1an?n?3 n?122 ?an?1ana13??3,又? n?1n22223?an?构成了一个首项这，公差为3的等差数列， n?2?2? ?? ?an33??(n?1)?3?3n? n22232 an?2?2n?1?(3n?)?(6n?3)?2n?1 所以选B。 小结：构造等比数列，注意形
anan?1n?n?1，当时，变为。 nn?122例6：已知函数f(x)?(x?2)2,(x?0)，又数列?an?中a1?2，其前项和为
Sn,(n?N?)，对所有大于1的自然数都有Sn?f(Sn?1)，求数列?an?的通项公式。
解：?f(x)?(x?2)2,Sn?f(Sn?1)?(Sn?1?2)2
?Sn?Sn?1?2,?Sn?Sn?1?2
?S1?a1?2
??S?是首项为
n2，公差为2的等差数列。
Sn?2?(n?!)2?2n,?Sn?2n2。
n?2时，an?Sn?Sn?1?2n2?2(n?1)2?4n?2
且当n?1时，a1?2?4?1?2 符合条件 通项公式为an?4n?2 例7：（2006山东高考题）
已知a1?2，点（an,an?1）在函数f(x)?x?x的图象上，其中n?1,2,3,??求数列?an?2的通项公式。
解：?f(x)?x?2x 又?(an,an?1)在函数图象上
2an?1?an?2an
an?1?1?an?2an?1?(an?1)2
?lg(an?1?1)?2lg(an?1) lg(an?1?1)?2,?lg(a1?1)?lg3lg(an?1)22?lg(an?1)?是首项为lg3公比为2的等比数列
lgan?1?2n?1?lg3?lg32 ?an?1?32 an?32n?1n?1n?1?1
小结：前一个题构造出Sn为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造?lg?an?1??为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。 例8：(2007天津高考题)已知数列?an?满足a1?2,an?1??an??n?1?(2??)?2n，（n?N*）
其中??0，求数列的通项公式
方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求?an?的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。
解：an?1??an??n?1?(2??)?2n,(n?N*,??0)
?an?1?n?1an?1?an?n22?()n?1?()n?1
????n?1a22n?()n?1?n?()?1,。 n???所以??an?1??n?1a1222n???a?()n?1???n?()?1,???0 n?????????所以??an2n??()?为等差数列，其首项为0，公差为1； n?????an?n2?()n?n?1,?an?(n?1)?n?2n
?例9：数列?an?中，若a1?2，an?1?A．
an，则a4?
1?3an21683 B． C． D． 191554解：?an?1?an1?3an11,????3
1?3anan?1anan 又
11?1?1?,???是首项为公差3的等差数列。 a12?an?21156n?52 ??(n?1)?3?3n??,?an?an2226n?5?a4?22? 所以选A
6?4?519变式题型：数列?an?中，a1?2,an?1?2an，求an?
1?3an解：?an?1?2an1?3an3111,?????
1?3anan?12an22an
新版高考数学题型全归纳：用构造法求数列的通项公式要点讲解(含答案)
