甘肃省天水市一中2024届高三下学期一模考试数学（文）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A?xy?lgsinx?9?x?2?，则f(x)?cos2x?2sinx，x?A的值域为（ ）
?3?1,??A．?2?
?2?1??3????2,2???1,???1,?22?? ????B． C． D．
2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ） A．6斤 B．7斤 C．8斤 D．9斤
rrrrrrrrr3．若向量a，b满足同a?3，b?2，a?a?b，则a与b的夹角为（ ）
???2?5??A．2 B．3 C．6 D．6
4．已知直线l:y?k(x?4)与圆(x?2)2?y2?4相交于A、B两点,M是线段AB的中点,则点M到直线3x?4y?6?0的距离的最大值为 A．5
B．4
C．3
D．2
5．已知f(x)?4?x2，g(x)?x?2，则下列结论正确的是（ ）
A．h(x)?f(x)?g(x)是偶函数 B．h(x)?f(x)g(x)是奇函数 C．h(x)?f(x)g(x)是偶函数
2?xh(x)?D．
f(x)2?g(x)是奇函数
?2)图象的一个对称中心为(6．若函数f(x)?Asin(?x??)（其中A?0，|?|?称轴方程为x?图象( )
?3，0)，其相邻一条对
7?，该对称轴处所对应的函数值为?1，为了得到g(x)?cos2x的图象，则只要将f(x)的12??B．向左平移个单位长度 个单位长度
612??C．向左平移6个单位长度 D．向右平移12个单位长度
A．向右平移
7．已知集合A?xx?4x?5，则（ ） A．?1.2?A
B．30.9?A
?2?C．
log230?A D．
A?N??1,2,3,4?
8．已知直线a，b和平面?，若a??，b??，则“a?b”是“b??”的（ ）． A．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
rrx2y29．已如F是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐
ab近线于点M，若FM?2a，记该双曲线的离心率为e，则e2?（ ）．
2?51?171?172?52 B．4 C．2 D．4 A．
x2y210．已知椭圆2?2?1的左右焦点分别为F1,F2，过F1作倾斜角为45o的直线与椭圆交于A,B两点，
abuuuruuur且F，则椭圆的离心率=（ ） 1B?2AF13322A．3 B．2 C．2 D．3
311．若函数f?x??1?x?x，则f?lg2??f?lg??1??1??flg5?f????lg??（ ） 2??5?A．2 B．4
C．6 D．8
12．将函数f(x)?2sin?x?????1?1的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数g(x)的?6?2图象，则下列说法正确的是（ ） ???A．函数g(x)的图象关于点??,0?对称
?12?B．函数g(x)的周期是
? 2??????0,???,0?g(x)g(x)6??C．函数在上单调递增 D．函数在?6?上最大值是1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?2?y2C:x??1?,0?FF313．已知双曲线的左右焦点分别为1、2，点A在双曲线上，点M的坐标为?3?，
2且M到直线AF1，
AF2的距离相等，则
|AF1|? ___
223,?1??x?y?2x?4y?0截得的弦长为2，则直线l的方程为______． l14．过点的直线被曲线
15．执行如图所示的程序框图，若输入m＝5，则输出k的值为_______．
e216．已知点P?a,b?在函数y?上，且a?1， b?1，则alnb的最大值为__________．
x三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
??x?1?2cos??C?y?1?2sin?（?为参数）
17．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线1的参数方程为?，以原点O为极
???2?cos?????mC?m?R?.当m?44??点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为，
时，判断曲线上到曲线
C1与曲线
C2的位置关系；当曲线
C1上有且只有一点到曲线
C2C的距离等于2时，求曲线1C2距离为22的点的坐标.
18．（12分）已知函数
f(x)?x?4a?x,a?R2f(x)?a．若不等式对?x?R恒成立，求实数a的取
222(x?y)?y?z4x?2y?z?mx,y,zma值范围；设实数为(Ⅰ)中的最大值，若实数满足，求的最小
值．
19．（12分）为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm 件数 78 1 79 1 81 3 82 5 83 6 84 19 85 33 86 18 87 4 88 4 89 2 90 1 91 2 93 1 合计 100 经计算，样本的平均值?=85，标准差?=2.2，以频率值作为概率的估计值.为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）： ①
P?????X??????0.6826；②
P???2??X???2???0.9544；
③
P???3??X???3???0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅
满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断M设备的性能等级.将直径小于等于??2?的零件或直径大于等于??2?的零件认定为是“次品”，将直径小于等于??3?的零件或直径大于等于??3?的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数Y的数学期望.
fx）＝3sinxcosx?cos2x?m．fx）fx）20．（12分）设函数（求函数（的单调递增区间；当x?R时，（fx）的最小值为2，求函数（的最大值及对应的x的值．
21．（12分）如图所示，四棱锥S?ABCD中，SA?底面ABCD，?ABC?900，SA?2，AB?3，BC?1，AD?23，?ACD?600，E为CD的中点.
求证：BC//平面SAE；求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.
22．（10分）如图，四棱锥中平面
.
，四边形
为菱形，
，
，平面
求证：；求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．A
10．D 11．C 12．C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．4
14．x＝3或5x+12y﹣3＝0． 15．1,2,4
16．e
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）相切；（2）(2,0)和(0,2) 【解析】 【分析】
(1)将C的参数方程化为普通方程，将l的极坐标方程化为直角坐标方程，考查圆心到直线的距离与半径的大小即可确定直线与圆的位置关系.
(2)由题意可得，圆心到直线的距离为22，据此确定过圆心与直线l平行的直线方程，联立直线方程与圆的方程即可确定点的坐标. 【详解】
??x?1?2cos?Q（1）圆C的方程为?（?为参数）.
??y?1?2sin?∴圆C的普通方程为?x?1???y?1??2. ∵直线l的极坐标方程为2?cos???22??????m，?m?R?. 4??直线l的直角坐标方程为：x?y?4?0. Q圆心?1,1?到直线l的距离为d?2?42?2.
?直线l与圆C相切.
（2）圆C上有且只有一点到直线l的距离等于2. 即圆心到直线l的距离为22. 过圆心与直线l平行的直线方程为：x?y?2?0.
x?y?2?0??x?2?x?0?联立方程组?，解得?，?， 22y?0y?2x?1?y?1?2????????故C上到直线l距离为22的点的坐标为?2,0?和?0,2?
【附加15套高考模拟试卷】甘肃省天水市一中2024届高三下学期一模考试数学(文)试题含答案
