极点与极线背景下的高考试题
王文彬
(江西省抚州市第一中学 344000)
极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.
作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.
1.从几何角度看极点与极线
A 定义1 如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引 F 两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H，连接EH,FG
E N G P H B 交于N，连接EG,FH交于M，则直线MN为点P对应的极线.
M 图1
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.
由图1同理可知， PM为点N对应的极线，PN为点M所
对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线
于点A,B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.
定理1 (1)当P在圆锥曲线?上时，则点P的极线是曲线
?在P点处的切线；
(2)当P在?外时，过点P作?的两条切线，设其切点分别为A,B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；
(3) 当P在?内时，过点P任作一割线交?于A,B，设?在A,B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.
定理2 如图2，设点P关于圆锥曲线?的极线为l，过点P任作一割线交?于A,B，交l于Q，则
PAPB? ①；反之，若有①成立，则称点P,Q调和分割线段AB，或称点PAQBQ与Q关于?调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线
P A Q l ?的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线?的调 B 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.
图2
推论1 如图2，设点P关于圆锥曲线?的调和共轭
点为点Q，则有
211?? ②；反之，若有②成立， PQPAPB则点P与Q关于?调和共轭.
可以证明①与②是等价的.事实上，由①有
?211??. PQPAPB特别地，我们还有
推论2 如图3，设点P关于有心圆锥曲线?(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR2?OP?OQ ，反之若有此式成立，则点P与Q关于?调和共轭.
证明：设直线PQ与?的另一交点为R?，则
PRPR?OP?OROP?OR???，化简 RQR?QOR?OQOR?OQP R Q O R?图3
即可得OR2?OP?OQ.反之由此式可推出
PRPR??，即点P与Q关于?调和共轭. RQR?Q推论3 如图4，A,B圆锥曲线?的一条
对称轴l上的两点(不在?上)，若A,B关于?调
和共轭，过B任作?的一条割线，交?于P,Q
两点，则?PAB??QAB.
P 证明：因?关于直线l对称，故在?上存在
Q?A P,Q的对称点P?,Q?.若P?与Q重合，则Q?与P
B Q P?图4
l 也重合，此时P,Q关于l对称，有?PAB??QAB；
若P?与Q不重合，则Q?与P也不重合，由于A,B
关于?调和共轭，故A,B为?上完全四点形PQ?QP?
极点与极线背景下的高考试题
