函数与方程专题

【答案】 (4，8)

【解析】 当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x>0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令

2??－x－ax，x≤0，

g(x)＝?作出y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为

?－x2＋ax，x>0.?

a2a2a2a2

－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a<<2a，解得4

【能力提升题组】(建议用时：15分钟)

13.(2024·永州模拟)已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值范围是( ) A.(5，6) 【答案】 A

【解析】 由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数， ∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8. 令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.

则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0， 又g(a)在(0，＋∞)上是增函数， ∴实数a所在的区间为(5，6).

14.(2024·天津河东区一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2.令g(x)＝f(x)－kx－k，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是( ) A.(0，＋∞) 10，? C.??4?【答案】 C

【解析】 令g(x)＝0，得f(x)＝k(x＋1)，

由f(x)的周期性，作出y＝f(x)在[－1，3]上的图象如图所示.

1

0，? B.??2?11?D.??4，3?

B.(7，8)

C.(8，9)

D.(9，10)

16

1

设直线y＝k1(x＋1)经过点(3，1)，则k1＝.

4

1

∵直线y＝k(x＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线y＝k(x＋1)与y＝f(x)的图象有4个交点，∴00)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________. 【答案】 0

【解析】 易知y＝ex－e

－x

－

为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y＝f(x)的图象.

所以y＝f(x)的图象关于点(0，4)对称， 又y＝kx＋4过点(0，4)且关于(0，4)对称.

∴方程f(x)＝kx＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0. 因此x1＋x2＋x3＝0.

16.若曲线y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为________. 【答案】 (2，4]

【解析】 因为直线y＝x＋1关于原点对称的直线为y＝x－1，依题意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解，即m＝2x

－1

在x∈(2，＋∞)上有解，∴m>2.

又2x－m>0恒成立，则m≤(2x)min＝4， 所以实数m的取值范围为(2，4]. 【新高考创新预测】

x??2，x

??x，x≥a.

使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数a的取值范围是________. 【答案】 [2，4] (－∞，0)

【解析】 因为函数y＝2x在定义域内是单调递增函数，所以函数f(x)为单调递增函数，所以a>0且2a≤a2.在同一坐标系下作出函数y＝2x与y＝x2的图象，由图可知，实数a的取值范围为[2，4].函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)与y＝b的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数y＝f(x)与y＝b的图象，由图可知，当a在y轴的左方时，存在实数b，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数g(x)有三个零点，

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实数a的取值范围为(－∞，0).

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