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习题1.3解答
1. 设X为随机变量，且P(X（1） 判断上面的式子是否为X的概率分布； （2） 若是，试求P(X为偶数）和P(X?5).
?k)?1k(k?1,2,?), 则
2解：令P(X?k)?pk?（1）显然0?pk?1，且
1,k?1,2,? 2k11 ?pk??k?2?1
1?1k?1k?1221 所以P(X?k)?k,k?1,2,?为一概率分布。
21??11（2）P(X为偶数)??p2k??2k?4?
1?13k?1k?124??511 P(X?5)??pk??k?2?
11?216k?5k?52??1 2.设随机变量X的概率分布为P(X数C.
?kC??k)?e??(k?1,2,?), 且??0，求常k!解：??ck!ek?1?k???1，而?k?0??kk!e???1
??0???e??1，即c?(1?e??)?1 ?c?1?0!?? 3. 设一次试验成功的概率为p(0?p?1)，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。
k?1解：P(X?k)?p(1?p),k?1,2,?
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1）X的概率分布； （2）P(X?5)。
解：
（1）P(X?k)?(1?p)p?(0.9)?0.1,k?0,1,2,? （2）P(X?5)?kk???P(X?k)??(0.9)k?5k?5k?0.1?(0.9)5
5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
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解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为p?的独立重复试验。
P(X?4)?C5()?411，所以这是一个n?5,p?441443151530?C5()()? 444646. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发
生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。
（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； （2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？
解：
（1）1?(0.99)20?20?0.01?(0.99)19?0.0175（按Poisson(泊松)分布近似） （2）n?100,np?100?0.01?1??（按Poisson(泊松)分布近似） P(X?N?1)? 查表得N?4
7. 设随机变量X服从参数为?的Poisson(泊松)分布，且P(X （1）?； （2）P(X?1).
k?N?1?C100k100(0.01)(0.99)k100?k1k?e?1???0.01
k!k?N?1100?0)?1，求
21,???ln2
0!2P(X?1)?1?P(X?1)?1?[P(X?0)?P(X?1)]
111 ?1?[?ln2]?(1?ln2)
222解：?P(X?0)??0e???8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某
本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
解：?P(X?1)?P(X?2)，即
?11!e????22!e??,??2
?e ?P（X?0） ?P?(e)?e
9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的
Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
9. 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
?24?8?2t2的
13
解：
3（1）t?3,??25（2）t?5,??2
P(X?0)?e
P(X?1)?1?P(X?0)?1?e
?52?3210. 已知X的概率分布为：
X -2 2a 2-1 1100 3a 1 a 2 a 3 2a P
试求（1）a； （2）Y?X?1的概率分布。
解：
1?3a?a?a?2a?1 101 ?a?。
10（1）?2a?（2）
Y P
?1 0 3 8 3131 105105
11. 设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8所示.
f (x) 0.5 t o 2 3 x 1 图1.3.8 试求:（1）t的值； （2）X的概率密度； （3）P(?2?X?2).
解：
11(?t)?0.5??0.5?3?1 22 ?t??1
（1）? 14
1?1x?,x?[?1,0)?22?1?1,x?[0,3) （2）f(x)???x?62?，其它?0??111111（3）P（?2?X?2)??(x?)dx??(?x?)dx?
226212?1012. 设连续型随机变量X的概率密度为
02?sinx,0?x?a f(x)??0,其他?试确定常数a并求P(X????).
6a0解：令
???f(x)dx?1，即?sinxdx?1
a0 ??cosx?1，即cosa?0,a??2?2
P(X??6?2)??sinxdx??cosx|???63 2613. 乘以什么常数将使e???x2?x变成概率密度函数?
解：令 ce?x?????2?xdx?1 edx?1
1e
?14 即 ce 即 ce??14?1?(x?)2214??1 ?c??14. 随机变量X~N(?,?2)，其概率密度函数为
f(x)?1e6?2?x?4x?46 (???x???)
试求?,?；若已知
2???Cf(x)dx???1C??f(x)dx，求C.
?(x?2)22(3)2解：
?f(x)?16?e?x2?4x?462?3e
???2 , ?2?3
??c15
若
?f(x)dx??f(x)dx，由正态分布的对称性
c??可知 c???2.
15. 设连续型随机变量X的概率密度为
?2x,0?x?1 f(x)??其他?0,以Y表示对X的三次独立重复试验中“X?1”出现的次数，试求概率P(Y?2).
2解：P(X?11)??2xdx? 240212 P(Y?2)?C3()()?142349。 6416. 设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，试求P(x1?X?x2). 如果
?1?x2?5； （2）1?x1?5?x2.
?1?,1?x?5
解：X的概率密度为f(x)??4?其他?0,x211（1）P(x1?X?x2)??dx?(x2?1)
441（2）P(x1?X?x2)? （1）x111dx?(5?x1) ?44x15 17. 设顾客排队等待服务的时间X（以分计）服从??1的指数分布。某顾客等
5待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y?1).
解：
]?e?2
k?P(Y?k)?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5
P(X?10)?1?P(X?10)?1?[1?e P(Y?1)?1?(1?e)?0.5167
?251??105
概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社
