6
即[1?P(A)]P(AB)?P(A)[P(B)?P(AB)] ?P(AB)?P(A)P(B)，故A与B独立。
5. 设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是1，求P(A)和P(B).
41，又?A与B独立 41 ?P(AB)?P(A)P(B)?[1?P(A)]P(B)?
41 P(AB)?P(A)P(B)?P(A)[1?P(B)]?
412 ?P(A)?P(B),P(A)?P(A)?
41 即P(A)?P(B)?。
2解：?P(AB)?P(AB)?6. 证明 若P(A)>0，P(B)>0，则有 （1） 当A与B独立时，A与B相容； （2） 当A与B不相容时，A与B不独立。
证明：P(A)?0,P(B)?0
（1）因为A与B独立，所以
P(AB)?P(A)P(B)?0，A与B相容。 （2）因为P(AB)?0，而P(A)P(B)?0， ?P(AB)?P(A)P(B)，A与B不独立。
7. 已知事件A,B,C相互独立，求证A?B与C也独立。
证明：因为A、B、C相互独立， ?P[(A?B)?C]?P(AC?BC)
?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?[P(A)?P(B)?P(AB)]P(C)?P(A?B)P(C)?A?B与C独立。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：
令A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么P(A1)?0.7,P(A2)?0.8,P(A3)?0.9 令B表示最多有一台机床需要工人照顾，
7
那么P(B)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)
?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?0.7?0.8?0.9?0.3?0.8?0.9?0.7?0.2?0.8?0.7?0.8?0.1
?0.9029. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0?p?1)，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。
系统II 系统I
1 n+1 1 n+1 2 n+2 2 n+2 n 2n n 2n 解：令A? “系统（Ⅰ）正常工作” B? “系统（Ⅱ）正常工作” Ai?“第i个元件正常工作”，i?1,2,?,2n P(Ai)?P,A1,A2,?,A2n相互独立。 那么
P(A)?P?(A1A2?An)?(An?1An?2?A2n)?
?P(A1A2?An)??P?(An?1An?2?A2n)?P(A1A2?A2n)?? ??P(A)??P(A)??P(A)iiii?1i?n?1i?1n2n2n
?2Pn?P2n?Pn(2?Pn)P(B)?P[(A1?An?1)(A2?An?2)???(An?A2n)]
??P(Ai?An?i)i?1nn ??[P(A)?P(Aii?1ni?1n?i)?P(Ai)P(An?i)]
注：利用第7题的方法可以证 明(Ai?An?i)与(Aj?An?j)
??[2P?P2]?Pn(2?P)n
i?j时独立。
10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求 （1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （2） 第二人中奖的概率。
解：令Ai?“第i个人中奖”，i?1,2,3 (1) P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)
8
?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)4656546451????????? ?109810981098212C4C61或P?? 32C10（2）P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1) ?
43642???? 109109511. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
解：
令B?“被检验者患有肝癌”， A?“用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么，P(A|B)?0.95,P(A|B)?0.10,P(B)?0.0004 （1）P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) ?0.0004?0.95?0.9996?0.1?0.10034
P(B)P(A|B)
P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)0.0004?0.95? ??0.0038
0.0004?0.95?0.9996?0.1（2）P(B|A)?
12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
解：令Bi?“5件中有i件优质品”，i?0,1,2,3,4,5 （1）P(B2)?C5(0.3)(0.7)??0.3087
223P(B2B0)
P(B)i?10P(B2)0.3087 ????0.371
1?P(B0)1?(0.7)5（2）P(B2|?Bi)?P(B2|B0)?5 9
13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。
解：令A? “抽取一件产品为正品” Ai?“箱中有i件次品”，i?0,1,2 B? “该箱产品通过验收”
2110?iP(A)P(A|A)???0.9 ??ii10i?0i?03（2）P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
（1）P(A)? ?0.9?0.98?0.1?0.05?0.887
14. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n?2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：
（1）全部能出厂的概率； （2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。
2解：令A? “仪器需进一步调试” ；B? “仪器能出厂” A? “仪器能直接出厂” ；AB? “仪器经调试后能出厂” 显然B?A?AB，
那么P(A)?0.3,P(B|A)?0.8
P(AB)?PA)P(B|A)?0.3?0.8?0.24 所以P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94 令Bi?“n件中恰有i件仪器能出厂”，i?0,1,?,n （1）P(Bn)?(0.94) （2）P(Bn?2)?Cnn?222n?22 (0.94)(0.06)?C(0.94)(0.06)nn?21n?1n（3）P(?Bk)?1?P(Bn?1)?P(Bn)?1?Cn0.06(0.94)?(0.94)
n?2nk?0p，试求以下事件 15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为
的概率：
（1）直到第r次才成功；
（2）第r次成功之前恰失败k次； （3）在n次中取得r(1?r?n)次成功；
10
（4）直到第n次才取得r(1?r?n)次成功。
解：
（1）P?p(1?p)r?1
?1rk（2）P?Crr?k?1p(1?p) rr（3）P?Cnp(1?p)n?r
r?1rn?r（4）P?Cn ?1p(1?p)16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。
解：令Ai?“恰有i次击中飞机”，i?0,1,2,3 B? “飞机被击落” 显然：
P(A0)?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.09
P(A1)?0.4?(1?0.5)?(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)?(1?0.5)?0.7?0.36P(A2)?0.4?0.5?(1?0.7)?0.4?(1?0.5)?0.7?(1?0.4)?0.5?0.7?0.41P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14
所以
而P(B|A0)?0，P(B|A1)?0.2，P(B|A2)?0.6，P(B|A3)?1
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.458；P(B)?1?P(B)?1?0.458?0.542
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概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社
