函数 综合问题概述 ——赵老师教你打通关
七大函数——
1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数 七大性质——
1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性
壹@一次函数（正比例函数）
1、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，即：y=kx （k为常数，k≠0） 则此时称y是x的正比例函数。
2、一次函数的性质：
（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0） 正比例函数的图像总是过原点。 （3) k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 当b=0时，直线通过原点。
(4)特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
3、一次函数和正比例函数的图象和性质
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贰@二次函数
1．函数y?ax2?bx?c(a?0)叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。 2．根与系数的关系-韦达定理
（1）若一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?中，两根为x1，x2。
求根公式x??b?b2?4ac?2a， 补充公式 x1?x2?a。
韦达定理xbc1?x2??a，x1?x2?a。
（2）以x21，x2为两根的方程为x??x1?x2?x?x1?x2?0
（3）用韦达定理分解因式ax2?bx?c?a???x2?bax?c?a???a?x?x1??x?x2?
3．任何一个二次函数y?ax2?bx?c(a?0)都可配方为顶点式：y?a(x?b2a)2?4ac?b24a，
性质如下：
（1）图象的顶点坐标为(?b4ac?b22a,4a)，对称轴是直线x??b2a。
（2）最大（小）值
2① 当a?0，函数图象开口向上，y有最小值，y?4ac?bmin4a，无最大值。
② 当a?0，函数图象开口向下，y有最大值，y4ac?b2max?4a，无最小值。
（3）当a?0，函数在区间(??,?bb2a)上是减函数，在(?2a,??)上是增函数。 当a?0，函数在区间上(?b2a,??)是减函数，在(??,?b2a)上是增函数。
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??0 ??0 ??0 4．二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式??b?4ac 二次函数 2y?ax2?bx?c ?a?0?的图象 一元二次方程有两个相异实数根 有两个相等实数根 ax2?bx?c?0?a?0?的根 ?b??x1,2??x1?x2? 2ax1?x2?? b 2a没有实数根 不等式的解集 ax2?bx?c?0?a?0? ax2?bx?c?0?a?0? ?xx?x1或x?x2? ?xx1?b?xx???? 2a?? ? R ? ?x?x2? 叁@反比例函数
1、定义：一般地，形如y?k（k为常数，k?0）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来x理解： （1）x是自变量，y是x的反比例函数； （2）自变量x的取值范围是x?0的一切实数，函数值的取值范围是y?0； （3）反比例函数有三种表达式：
k①y?（k?0）， ②y?kx?1（k?0）， ③x?y?k（定值）（k?0）。
x（4）函数y?kk（k?0）与x?（k?0）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反
yx比例函数。 2、反比例函数解析式的特征： 反比例函数 y?k（k?0） xk的符号 k?0 k?0 图像 定义域和值域 单调性 x?0，y?0；即（—∞，0）U（0，+∞） x?0，y?0即（—∞，0）U（0，+∞） 图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 3
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肆@指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 2．实数指数幂的运算性质
（1）ar·ar?ar?s （2）(ar)s?ars （3）(ab)r?aras 均满足(a?0,r,s?R)． （二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中定义域为x∈R． 2、指数函数的图象和性质
条件 a>1 0 特性 过定点（0，1） 过定点（0，1） 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1)，总有f(1)?a； 伍@对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果ax?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数， 记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式）ax?N?logaN?x； 2．两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数lnN． （二）对数的运算性质 如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： ○1 loga(M·N)?logaM＋logaN； ○2 logMaN?logaM－logaN； ○ 3 logaMn?nlogaM (n?R)． 注意：换底公式 logab?logcblog （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）． ca利用换底公式推导下面的结论 （1）lognnamb?mlogab； （2）log1ab?log． ba 4 函数 综合问题概述 ——赵老师教你打通关 （三）对数函数 1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log2x， xy?log5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 52、对数函数的性质： 条件 32.52a>1 32.520 表1 定义域 值域 xy?a?a?0,a?1? 指数函数对数数函数y?logax?a?0,a?1? x??0,??? y?R x?R y??0,??? 图象 过定点(0,1)?? 减函数 增函数 x?(??,0)时，y?(0,1) 过定点(1,0) 减函数 增函数 x?(??,0)时，y?(1,??)x?(0,??)时，y?(0,1)性质 x?(0,1)时，y?(0,??)x?(0,??)时，y?(1,??)x?(1,??)时，y?(??,0) x?(0,1)时，y?(??,0)x?(1,??)时，y?(0,??) a?b a?b a?b a?b 5
七大函数，七大性质
