导数与微分
第一节 导数概念
教学目标：1．理解导数的概念. 2．了解导数的几何意义及函数的可导
性与连续性之间的关系3.能按导数的定义求导数的方法和函数的可导性判定方法
4.会初步运用导数的几何意义讨论函数的切线和法线问题
教学重点：导数的概念；函数的可导性与连续性之间的关系 教学难点：导数的概念 4学时 一、引例
1．直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动? 时刻t质点的坐标为s? s是t的函数?
S=
f(t)?
求动点在时刻t0的速度? 考虑比值
s?s0f(t)?f(t0)?t?t0t?t0?
这个比值可认为是动点在时间间隔tt0内的平均速度? 如果时间间隔
选较短? 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度? 但这样
f(t)?f(t0)t0?0? 取比值t?t0的极
做是不精确的? 更确地应当这样? 令t 限? 如果这个极限存在? 设为v ? 即
v?limt?t0f(t)?f(t0)t?t0?
这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度? 2．切线问题
设有曲线C及C上的一点M? 在点M外另取C上一点N? 作割线MN? 当点N沿曲线C趋于点M时? 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT? 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线?
设曲线C就是函数yy0)(y0
f(x)的图形? 现在要确定曲线在点M(x0,
f(x0))处的切线? 只要定出切线的斜率就行了? 为此? 在点M
外另取C上一点N(x, y)? 于是割线MN的斜率为
tan??y?y0f(x)?f(x0)?x?x0x?x0?
其中为割线MN的倾角? 当点N沿曲线C趋于点M时? x?x0? 如果当x? 0时? 上式的极限存在? 设为k ? 即
k?limx?x0f(x)?f(x0)x?x0
存在? 则此极限k 是割线斜率的极限? 也就是切线的斜率? 这里ktan
?其中是切线MT的倾角? 于是? 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜
率的直线MT便是曲线C在点M处的切线? 二、导数的定义 1
函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出? 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限?
limf(x)?f(x0)x?x0?
x?x0令xxx0? 则y
limf(x0
f(x)?f(x0)x?x0
x)f(x0) f(x)f(x0)? x?x0
相当于成为
x ?0? 于是x?x0f(x0??x)?f(x0)?ylim?x?0?x或?x?0?x? lim定义：设函数y处取得增量y
f(x0
f(x)在点x0的某个邻域内有定义? 当自变量x在x0
x仍在该邻域内)时? 相应地函数y取得增量f(x0)? 如果
y与
x之比当
x?0时的极限存
f(x)在
x(点x0x)
在? 则称函数yf(x)在点x0处可导? 并称这个极限为函数y
y?|x?x0点x0处的导数? 记为
? 即
f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x?
也可记为
y?|x?x0?
dy dxx?x0或
df(x) dxx?x0?
函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在? 导数的定义式也可取不同的形式? 常见的有
f?(x0)?limf(x0?h)?f(x0)hh?0
f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)x?x0?
在实际中? 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题? 在数学上就是所谓函数的变化率问题? 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述? 如果极限?x?0导?
如果不可导的原因是由于?x?0也往往说函数y如果函数y
limf(x0??x)?f(x0)???x?
limf(x0??x)?f(x0)?x不存在? 就说函数y
f(x)在点x0处不可
f(x)在点x0处的导数为无穷大?
f(x)在开区间I内的每点处都可导? 就称函数f(x)在开区
间I内可导? 这时? 对于任一x ?I? 都对应着f(x)的一个确定的导数值? 这样就构成了一个新的函数? 这个函数叫做原来函数y
dydf(x)记作 y??f?(x)? dx? 或dx?
f(x)的导函数?
导函数的定义式?
y??limf(x??x)?f(x)?xlimf(x?h)?f(x)h?
?x?0h?0f ?(x0)与f ?(x)之间的关系?
函数f(x)在点x0处的导数f ?(x)就是导函数f ?(x)在点x值? 即
f?(x0)?f?(x)x?x0x0处的函数
?
导函数f ?(x)简称导数? 而f ?(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ?(x)在x0处的值?
左右导数? 所列极限存在? 则定义 f(x)在x0的左导数?f(x)在x0的右导数?
lim?(x0)?limf?h?0?f(x0?h)?f(x0)h? f(x0?h)?f(x0)h?
?(x0)?limf?h?0?如果极限h??0数?
如果极限h??0数?
limf(x0?h)?f(x0)h存在?
则称此极限值为函数在x0的左导
f(x0?h)?f(x0)h存在?
则称此极限值为函数在x0的右导
导数与微分
