“四法”破解三项展开式问题
如何求解三项展开式中某些指定的项，同学们普遍感到比较陌生。下面介绍四种破解三项展开式问题的方法，供参考．
问题：求1?2x?3x2展开式中x5的系数为.
1、两项看成一项，利用二项式定理展开
三项展开式的问题可将其中两项作为整体，利用二项式定理来处理，这是把三项式向二项式转化的有效途径． 解法1：1?2x?3x25??5????(1?2x)?3x?
52501 =C5?1?2x??C5?1?2x?(?3x2)?C52?1?2x?(?3x2)2???C55(?3x2)5
43551312?C5C4?23?(?3)?C52C3?2?9?92． 所以x5项的系数为C5
2、两项看成一项，抓展开式的通项公式 解法2：1?2x?3x2????1??2x?3x??
525Tr?1?C5r2x?3x2，r=0，1，2，3，4，5，则x5的系数由(2x?3x2)r来确定
Tk'?1?Crk(2x)r?k(?3x2)k?Crk2r?k(?3)kxr?k,k?0,1,?,k
??r??r?5?r?4?r?3或?或?由r + k = 5得? ??k?0?k?1?k?25051332C52?C54C42?(?3)?C5C32?(?3)2?92． 所以x5项的系数为C5点评：这种解法本质上同解法1相同，先将其中两项作为整体，两次利用二项式定理的通项公式后，就得到了三项展开式a?bx?cx2的通项公式为
rn?rkTr,k?CnaCr(bx)r?k(cx2)k , 其中r?0,1,2,?,n， k?0,1,?,k
??n
3、因式分解，转化为两个二项展开式 解法3：1?2x?3x2??5?(1?x)5(1?3x)5
=(1?5x?10x2?10x3?5x4?x5)?(1?15x?90x2?270x3?405x4?243x5) 相乘合并得x5项的系数为92．
1
点评：若三项式可分解因式，则可以转化为两个二项式的积的形式；若三项式恰好是二项式的平方，则也可直接转化为二项式问题求解，如
?11???式?x???x??2?，可以直接转化为二项?? ． xx????510
4、看作多个因式的乘积，用组合的知识解答
解法4：将1?2x?3x2看作5个因式1?2x?3x2的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成x5的来源有：
①5个因式各出一个2x，这样的方式有C55种，对应的项为C55(2x)5；
②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个 - 3x2，剩余1个因式出一个1，这样的方
131(2x)3C2(?3x2)； 式有C53C2种，对应的项为C5??5③有1个因式出一个2x，2个因式各出一个- 3x2，剩余2个因式各出一个1，这样的方式
1212C4种，对应的项为C52xC4(?3x2)2； 有C555331122?C52?C2(?3)?C52?C4(?3)2?92 所以x5项的系数为C5点评：对于求三项展开式中指定项的系数问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合
组合的知识求解，也很简捷，但要注意将各种情况讨论全，避免遗漏．
“四法”破解三项展开式问题
