2008年振动力学期末考试试卷
第一题（20分）
1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB 的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。?解：
系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。
AB转角：??y/L 系统动能：
1?2 m1y2?11111y1122?2?(m2L2)()2?(m2)y?2 m2动能：T2?J2?2?(m2L)?22323L23?211111y22?2 m3动能：T3?J3?3?(m3R)()?(m3)y222R22m1动能：T1?系统势能：
111V??m1gy?m2g(y)?k(y)2
222在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：
T?V?111111?2?m1gy?m2gy?k(y)2?E (m1?m2?m3)y232222上式求导，得系统的微分方程为：
???y固有频率和周期为：
k114(m1?m2?m3)32y?E?
?0?k114(m1?m2?m3)32
2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。
解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。
物体B动能：T1?x 1?2 m2x2轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为vc?为??11?，角速度为???，转过的角度xx22R1x。轮子动能： 2R11112111213?)?(m1R2)(2x?)?(m1x?2) T2?m1vc2?J?2?m1(x222422284R系统势能：
V?12111kkxc?k(?R)2?k(xR)2?x2 2222R8T?V?13m1k?2?x2?E (?m2)x288在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：
上式求导得系统的运动微分方程：
???x固有频率为：
2kx?0
3m1?8m2?0?
2k
3m1?8m2第二题（20分）
1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解：
系统为二自由度系统。
当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：
?2k??2k?系统质量矩阵为：
?2k? 4k???m0??02m? ??系统动力学方程为：
?1??2kx?m0???????02m????2???2k???x
频率方程为：
?2k??x1??0???? ???4k??x2??0?2k?m?2Δ(?)??2k解出系统2个固有频率：
?2k?0 24k?2m??12?(2?2)kk2，?2?(2?2) mm
2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。 解：
系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和x2为系统的广义坐标。
当x1＝1，x2＝0时，AD转角为??1/3L，两个弹簧处的弹性力分别为k?L和2k?L。对D点取
x1 x2 14力矩平衡，有：k11? kL；另外有k21??kL。
9同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：
k22?kL，k12??kL 因此，系统刚度矩阵为：
1kL 32kL 3k11 D k?1 ?14?kL?kL?9? ??kLkL???系统质量矩阵为：
?m0??0m? ??系统动力学方程为：
?1??14kL?kL??x1??0?x?m0????????? ??9??0m????2???kLkL??x2??0????x??
机械行业振动力学期末考试习题
