2007年考研数学二真题解析
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（1） 当x?0时，与x等价的无穷小量是 （B） A. 1?ex? B.ln1x1?x C. 1?x?1 D.1?cosx 1?x在区间???,??上的第一类间断点是x?(A)
（2）函数f(x)?(e?e)tanxx(e?e)1xA. 0 B. 1 C. ??2 D.
? 2（3）如图。连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)?下列结论正确的是： （C）
?x0f(t)dt,则
35F(?2) B.F(3)?F(2) 44352) C.F(?3) ??F(2) D.F(?3)??F(?
44 A..F(3)??(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 B. 若lim存在, f(0)?0
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)C. 若lim存在, 则f?(0)?0 D. lim存在, f(0)?0
x?0x?0xx1x（5）曲线y??ln(1?e),渐近线的条数为 （D）
xA. 0 B.1 C.2 D.3
A. 若lim(6)设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f\x)?0, 令un= f(n)?1,2.......,n, 则下列结论正确的是 (D)
A.若u1?u2，则?un?必收敛 B. 若u1?u2，则?un?必发散 C. 若u1?u2，则?un?必收敛 D. 若u1?u2，则?un?必发散 （7）二元函数f(x,y)在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B） A.
?x,y???0,0??lim?f?x,y??f?0,0????0
f?x,0??f?0,0?f?0,y??f?0,0??0，且limB. lim?0
x?0y?0xyC.
?x,y???0,0?limf?x,0??f?0,0?x?y22?0
?f'y?x,0??f'y(0,0)?f'x?x,0??f'x(0,0)?D. lim???0,且lim??0, x?0?y?0??（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分??2dx?sinxf(x,y)dy等于 （B）
11A.
?0dy???arcsinyf(x,y)dx B.?0dy???arcsinyf(x,y)dy
11??C.?0dy?2??arcsiny?f(x,y)dx
D.?0dy?21??arcsiny?f(x,y)dx
（9）设向量组?1,?2,?3线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A）
?1??2,?2??3,?3??1 （B） ?1??2,?2??3,?3??1
（C） ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 （D）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1
?2?1?1??100?????（10）设矩阵A=??12?1?，B=?010?,则A于B， （B）
??1?12??000?????(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似
二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
(11)limarctanx?sinx1?
x?0x36?x?cost?cos2t?(12)曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为（2?1）
4?y?1?sint(13)设函数y?1?nn，则y?0?＝2?3
2x?3(14)二阶常系数非齐次线性微分方程y''?4y'?3y?2e2x的通解y＝_C1ex?C2e3x?2e2x (15)设
f(u,v)是二元可微函数，
yxz?f(,)xy,则
x?z?z2yyx2xyx?y??f1?(,)?f2?(,) ?x?yxxyyxy?0?0(16)设矩阵A???0??0100001000??0?3
，则A的秩为_1______ 1??0?三、解答题：17－24小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
f(x)xcost?sint????1f(t)dt??tdt （17）设f(x)是区间?0,?上单调、可导函数，且满足?00sint?cost4??其中f?1是f的反函数，求f(x)。
【详解】：
设y?f(t),则t?f?1(y)。
cost?sintdt ?f?1(0)0sint?costcosx?sinx 等式两边同时求导得：xf'(x)?x
sinx?cosxcosx?sixn? f'(x) sinx?coxs 则原式可化为：
xyf'(y)dy??tx（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y?xa? ?a?1,0?x????下方、x轴上方的无界区域。
（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； （Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值。 【详解】：
(I)V(a)???ydx???(xa00??2???x2a2a2? )dx?(lna)212?0 得lna(lna?1)?0
2a(lna)2?a2(2lna) (II)V?(a)??? 故lna?1
(lna)4 即a?e是唯一驻点，也是最小值点，最小值V(e)?e2?
2（19）求微分方程y''x?y'?y'满足初始条件y(1)?y'(1)?1的特解。
??【详解】： 设p?y??dydp，则y???代入得： dxdxdpdxx?p2x2 (x?p)?p????p
dxdppp 设
xd(pu)dudu?u 则?u?p?u?p?u?p??1?u?p?c1
dpdpdpp 即x?p2?c1p 由于y?(1)?1 故1?1?c1?c1?0
dy23??x?y??x2?c2 即x?p?p??x?dx32 由y(1)?1?c2?15或c2? 33323125 特解为y?x2?或y??x2?
3333（20）已知函数f(a)具有二阶导数，且f'(0)＝1，函数y?y(x)由方程y?xey?1?1所确
dz定。设z?f(lny?sinx),求
dx【详解】： y?xey?1d2zx?0，
dx2x?0
?1两边对x求导得y??(ey?1?xey?1?y?)?0
ey?1y?? 得 1?xey?1 （当x?0，y?1)
故有y?x?0e1?1??1 2?1?f?(0)(1?1?1)?0
dzdxx?01?f?(lny?sinx)(y??cosx)yx?0d2z
dx2x?01(y?)22?f??(lny?sinx)(y??cosx)?f?(lny?sinx)(?2?sinx)yy2x?0
?f??(0)(1?1?1)?f?(0)(?1?1?0)?1?(?1)??1 21(21)（本题11分）
设函数
f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，
使得f''(?)?g''(?) f(a)?g(a),f(b)?g(b)证明：存在??(a,b)，【详解】：
证明：设f(x),g(x)在(a,b)内某点c?(a,b)同时取得最大值，则f(c)?g(c)，此时的c就是所求点?使得f(?)?g(?)。若两个函数取得最大值的点不同则有设
f(c)?maxf(x),g(d)?maxg(x)故有f(c)?g(c)?0,g(d)?f(d)?0，由介值定理，
在(c,d)内肯定存在?使得f(?)?g(?)由罗尔定理在区间(a,?),(?,b)内分别存在一点
?1,?2,使得f'(?1)＝f'(?2)＝0在区间(?1,?2)内再用罗尔定理，即
存在??(a,b)，使得f''(?)?g''(?)
（22）（本题满分11分）
?x2.?设二元函数f(x,y)??1,?22?x?y计算二重积分【详解】：
Dx?y?1.1?x?y?2.
??f(x,y)d?.其中D??(x,y)x?y?2
?D如图（1）所示，它关于x,y轴对称，f(x,y)对x,y均为偶函数，得
??f(x,y)d??4??f(x,y)d?
DD1其中D1是D的第一象限部分。
2007年考研数学二真题解析
