专题 等比数列及其前n项和
一、题型全归纳
题型一 等比数列基本量的运算
【题型要点】1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做an＋1
等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．
an(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?G2＝ab． “a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1．
na1，q＝1，??
(2)前n项和公式：Sn＝?a1（1－qn）a1－anq
＝，q≠1.?1－q?1－q3.解决等比数列有关问题的2种常用思想
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，方程的思想 通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1分类讨论的思想 时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sna1（1－qn）a1－anq＝＝ 1－q1－q4．等比数列的基本运算方法
(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行． (2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”问题．
3
例1】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝ ．
45
【答案】.
8a1（1－q3）33
【解析】通解：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝＝，441－q
－
??1?4?1??1-?-??4a1（1－q）??2???531?2
得1＋q＋q＝，解得q＝－，所以S4＝＝＝.
4281－q?1?1-?-??2?33
优解一：设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所以1＋q＋q2＝，解
44113?1?5?1?得q＝－，所以a4＝a1·q3＝?-?＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋?-?＝.
284?8?823??优解二：设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1.设数列{an}的前n项和Sn＝A(1－qn)(其中A为常数)，321
则a1＝S1＝A(1－q)＝1 ①，S3＝A(1－q3)＝ ②，由①②可得A＝，q＝－.
432
??1?4?52
所以S4＝×1??1-?-??＝.
38?2?????【例2】(2024·福州市质量检测)等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝( )
A．32 C．64
B．31 D．63
2???a1·q＝4，?a1＝1，
【解析】：通解：设首项为a1，公比为q，因为an＞0，所以q＞0，由条件得?解得?所
?a1q·a1q5＝64，?q＝2，??
以S5＝31，故选B.
优解：设首项为a1，公比为q，因为an＞0，所以q＞0，由a2a6＝a24＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1， 所以S5＝31，故选B.
题型二 等比数列的判定与证明
【题型要点】等比数列的判定方法
an＋1an
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
anan－1
*
(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 【易错提醒】：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
an
【例1】已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
n(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式．
2（n＋1）
【解析】 (1)由条件可得an＋1＝an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
n将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得
an＋12an
＝，即bn＋1＝2bn， n＋1n
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． an－－
(3)由(2)可得＝2n1，所以an＝n·2n1.
n
【例2】设数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn＋an＝(1)求证：数列?Sn?n－1
，n＝1,2，…，n.
n?n＋1?
??1??是等比数列；(2)求Sn. n?1?【解析】 (1)证明：由题意，n＝1时，S1＋a1＝0，
n－121
即a1＝0，n≥2时，Sn＋Sn－Sn－1＝2Sn－Sn－1＝＝－，
n?n＋1?n＋1n
1?11?11
所以Sn－＝?Sn-1??，S1－＝－，
22n＋12?n?所以数列?Sn???1?11
是以－为首项，为公比的等比数列． ?22n?1?n?11?1?(2)由(1)知，Sn－＝??n＋1?2?1?1??1??1??-?＝?-?，所以Sn＝n＋1－??. ?2??2??2?nn【例3】已知数列{an}是等比数列，则下列命题不正确的是( ) A．数列{|an|}是等比数列 B．数列{anan＋1}是等比数列 C．数列??1?n}是等比数列 ?是等比数列 D．数列{lg a2
a?n?an＋1|an＋1|?an＋1?＝q.对于A，＝＝|q|，所以数列{|an|}是等比数列，an|an|?an?
【解析】.因为数列{an}是等比数列，所以
专题6.3等比数列及其前n项和(2024年高考数学一轮复习专题)
