泛函分析概括
高光谱遥感应用中，如何度量光谱间的相似性一直高光谱图象处理的核心问题，因而我们有必要先交代下度量空间的一些概念。
度量空间:所谓度量空间，就是指对偶(X,d)，其中X是一个集合，d是X上的一个度量（或X上的距离函数），即d是定义在X?X上且对所有x,y,z?X满足以下四条公理的函数：
（1） d是实值、有限和非负的。
（2） 当且仅当x?y时，d(x,y)?0。（3） d(x,y)?d(y,x) （对称性）。
（4） d(x,y)?d(x,z)?d(z,y) （三角不等式）。
度量空间给出来空间中元素“距离”的度量，因而使得空间中的元素可比较。但是，仍需要在空间中引入代数结构，使得元素之间可进行代数运算。因而，这里需要引入线性空间。
线性空间：所谓域K(R或C)上的线性空间是指一个非空集合X，且其元素
x,y,L（称为矢量）关于X和K定义了两种代数运算。这两种运算分别叫做矢量的加法与标量的乘法。
矢量的加法是，对于X中的每一对矢量(x,y)，与其相联系的一个矢量x?y，叫做矢量之和。按这种方式它还具有下述性质：矢量加法是可交换的和可结合的，即对所有矢量都有
x?y?y?x
x?(y?z)?(x?y)?z此外存在零矢量0?X,并对每个矢量x，存在有?x，使得对一切矢量有
x?0?x
x?(?x)?0矢量与标量的乘法是，对于每个矢量x和每个标量?，与其相联系的一个矢量?x，叫做?与x之积。按这种方式对一切x,y和标量?,?,具有
?(?x)?(??)x1x?x
和分配律
?(x?y)??x??y
(???)x??x??y在很多情况下因为线性空间X上定义了度量d，所以X同时也是一个度量空间。然而，如果X的代数结构与度量没有什么关系的话，我们就不能指望把代数的概念和度量的概念结合在一起。为了保证X的代数性质与几何性质有如此的关系，我们首先需要引入一个辅助的所谓“范数”的概念，其中要用到线性空间的代数运算。然后再用范数诱导出我们希望的度量d，这一想法就导出了赋范空间的概念。简单的说，赋范空间把线性空间的代数结构和其作为度量空间的度量紧密结合在一起。
赋范空间:所谓赋范空间X，就是指在其上定义了范数的线性空间X。而所谓线性空间X上的范数，就是指定义在X上的一个实值函数，它在x?X的值记为x，并且具有如下性质：（1）x?0
（2）x?0?x?0（3）?x??x
（4）x?y?x?y其中x,y是X中的任意矢量，?为任意标量。
巴拿赫空间：所谓巴拿赫空间就是完备的赋范空间（这里的完备性是按范数定义的度量来衡量的，见下面公式）
d(x,y)?x?y x,y?X
此度量叫做由范数所诱导的度量。
由范数所诱导的度量具备以下基本性质:
引理（平移不变性）：在赋范空间X上，由范数诱导的度量d，对所有的
x,y?X及每个标量?，都满足
d(x??,y??)?d(x,y)d(?x,?y)??d(x,y)在赋范空间中和初等线性代数一样，可以对矢量进行相加和标量相乘的运算。此外空间上的范数推广了矢量长度的概念。而希尔伯特空间则把矢量的内积引入到线性空间中来，使得空间中的元素具有正交性。
内积空间：所谓内积空间就是在其上定义了内积的线性空间X。这里所指的X上的内积，是X?X到X的标量域K的一个映射；也就是说针对X中的每一对矢量x,y，都有一个标量，记之为?x,y?与之对应。这个标量叫做x和y的内积，并且对所有的矢量x,y,z?X 和标量?，都满足（1）?x?y,z???x,z???x,y?（2）??x,y????x,y?（3）?x,y???y,x?（4）?x,x??0,
?x,x??0?x?0希尔伯特空间：所谓希尔伯特空间就是完备的内积空间（以内积所定义的度量来考察完备性，见下面公式）。
上的内积通过
x??x,x? ， d(x,y)?x?y??x?y,x?y?
分别在定义了范数和度量。因此，内积空间是赋范空间，而希尔伯特空间是巴拿赫空间。但并不是所有的赋范空间都是内积空间，因为并不是所有的范数多可以由内积来得到，可以证明内积空间上的范数满足重要的平行四边形等式：
x?y?x?y?2(x?y)
由于高光谱遥感图象的特征空间为有限维欧几里德空间,我们这里给出其性质。
2222欧几里德空间Rn：空间Rn具有内积
?x,y??x1y1?x2y2?L?xnyn （1.1.1）
的希尔伯特空间，其中x?(x1,x2,L,xn)，y?(y1,y2,L,yn)。由此内积可以诱导出范数
11222x??x,x?2?(x12?x2?L?xn)
由此得到欧几里德度量
1d(x,y)?x?y?[(x1?y1)2?L?(xn?yn)2]2 （1.1.2）
常用的相似性度量主要有：
1（1） 欧几里德距离: dxy?x?y?[(x1?y1)2?L?(xn?yn)2]2
（2） 内积: ?x,y??xTy?x1y1?x2y2?L?xnyn
xTy（3） 角度: ??arcosxy
xTy（4） 相似系数: cos??xyT
（5） 相关系数: rxy??x??x??y??y?x??xy??yn
（6） 绝对距离: dxy??xi?yii?1n
（7） 明斯基距离: dxy?[?xi?yi]i?1q1q
（8） 切比雪夫距离: dxy?maxxi?yi1?i?n
在上面的度量公式中，欧氏距离与内积相协调，共同构成欧氏空间度量元素相似性的基础。角度、相似系数和相关系数都可以由欧氏距离与内积派生而来。绝对距离、明斯基距离和切比雪夫距离虽然均可以由相应范数诱导，但却不能由内积诱导，因而在没有特殊先验知识的情况下，这些度量仅在理论上有存在的必要。
高光谱遥感数据处理基础
