直线与平面垂直的判定
【知识梳理】
1．直线与平面垂直的定义
(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
(2)图形语言：如图．
画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
(3)符号语言：任意a?α，都有l⊥a?l⊥α. 2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α. 3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角． (2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°. (4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
【常考题型】
题型一、线面垂直的定义及判定定理的理解
【例1】 下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0 C．2
B．1 D．3
[解析] 由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．
[答案] D 【类题通法】
1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．
2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线． 【对点训练】
1．下列说法中，正确的是( )
A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 C．若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
解析：选C 当l与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故A错；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．
题型二、线面垂直的判定
【例2】 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．
求证：AD⊥平面A1DC1. [证明] ∵AA1⊥底面ABC， 平面A1B1C1∥平面ABC， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°， ∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD?平面AA1B1B， ∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝AA21， ∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1， ∴AD⊥平面A1DC1. 【类题通法】
1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．
2．线线垂直与线面垂直的转化关系． 线线垂直
线面垂直的判定定理线面垂直的定义
线面垂直．
3．解决线面垂直的常用方法： (1)利用勾股定理的逆定理．
(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线． (3)利用线面垂直的定义．
(4)利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c. 【对点训练】
2.如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.则在Rt△ABC中， 有AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS. 所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.
题型三、直线与平面所成的角
【例3】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
[解] 取AA1的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形， 所以EM∥AD.
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1， 所以EM⊥平面ABB1A1，
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝EM2于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，
BE32
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为. 3【类题通法】
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 【对点训练】
3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值． 解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a.
22＋22＋12＝3，
设O为底面中心，
则∠SAO为SA与平面ABC所成的角． 233
在Rt△SOA中，∵AO＝×a＝a，
3233aAO33
∴cos∠SAO＝＝＝，
SA2a6即侧棱与底面所成角的余弦值为3
. 6
【练习反馈】
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．平行 C．相交不垂直 答案：B
2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° C．30°
B．45° D．120° B．垂直 D．不确定
解析：选A ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角， 1在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，
2即∠ABO＝60°.
3.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
答案：45°
4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．
解析：连接AC、BD，则AC与BD交于点O.
高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面垂直的判定
