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极点极线
定义 已知圆锥曲线С: Ax?+By?+Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y0) [其中A?+B?≠0,x0+xy0+y
点P不在曲线中心和渐近线上].则称点P和直线L: A?x0x+B?y0y+C?+D?．．．．．．．．．．．．．22+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x0x替换x?，以
x0+xy0+y
替换x，以y0y替换y?,以替换22
y则可得到极点P(x0,y0)的极线方程L. 特别地：
(1)对于圆(x-a)?+(y-b)?=r?,与点P(x0,y0)对应的极线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r? ； (2)对于椭圆x?y?x0xy0y
+=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为+=1 ； a?b?a?b?x?y?x0xy0y
-=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为-=1 ； a?b?a?b?
(3)对于双曲线(4)对于抛物线y?=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x) ； 性质 一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部]: ．．．．．．．．．．．
①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；
②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= x0xy0yx0?y0?
(x0-a)?+(y0-b)?；若是椭圆,则此时中点弦的方程为+=+；若是双曲
a?b?a?b?
线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0?-2px0)；
x0xy0yx0?y0?
-=-；若是抛物线,则此时中点弦的方程为a?b?a?b?
④当P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线； ．．⑤极点极线的对偶性:
Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图．中点n与直线是一对极点极线]； ．．P．．．．．Ln．．．．．．．．．
Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上 [图中点与直线是一对极点极线；点与直线是一对极点极线] ； ．．．P．．．．ST．．．．．．．．．．．T．．．．SP．．．．．．．．．Ⅲ. 点P是曲线C的极点，它对应的极线为L，则有: 1)若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则OP?OQ=OR?OPOR即 = OROQ
椭圆如图 双曲线如图
2) 若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR 如图
中学数学中极点与极线知识的现状与应用
虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆
x?y?
+=1的焦点的极线a?b?
方程为: x=
a?
.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线的c
统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.
圆锥曲线基础必备
极点极线例题
极点极线及高中圆锥曲线必备公式
