级联型多电平逆变器最小总谐波失真阶梯调制策略研究
李素非1，李国杰1，翟登辉2，王卫星2
【摘 要】摘要：为了降低级联型多电平逆变器的输出电压谐波分量，提出了一种新颖的基于KKT条件最优化方法的阶梯调制策略。利用KKT条件法，经过严格的数学推导，得到相应的导通角计算方法,所提出的阶梯调制策略能够在任意调制系数下最小化阶梯波输出的总谐波失真（THD）。另外利用牛顿-拉普逊迭代法来求取上述导通角计算中的关键参数。为了克服牛顿—拉普逊迭代法计算速度慢的缺点，提出了幂函数逼近法来简化计算复杂度。最后，对上述方法进行了仿真分析，得到了固定和可变调制系数下的级联逆变器输出电压波形和其频谱分布。仿真结果证实了调制策略的有效性。 【期刊名称】电力系统保护与控制 【年(卷),期】2014(000)019 【总页数】10
【关键词】级联型多电平逆变器；总谐波失真；阶梯调制；KKT条件法；函数逼近
【文献来源】
https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_power-system-protection-
control_thesis/0201235785046.html
0 引言
级联型逆变器在中/高功率等级的系统的中有广泛的应用[1-3]。根据开关频率，可以将级联型逆变器的调制分为高频调制和低频调制。常见的高频调制策略有正弦载波调制（SPWM）[4-6]、特定谐波消除脉宽调制（SHEPWM）[7-8]空间电压矢量调制（SVPWM）[9-14]。相对于高频调制策略而言，低频阶梯调
制能减小开关损耗和器件的开关应力，延长其使用寿命，提高系统效率。 在阶梯调制中，各电平导通角的计算是一个研究热点。导通角计算方法包括选择谐波消去法（SHE）[15-21]、等面积法[22-24]、最小面积差法[25]以及最小THD法[26-29]。SHE法的目的是消去电压输出波形中的低次谐波，由于需要解多元非线性超越方程组，它的计算非常复杂。等面积法要求在每一个特定的时间区间内，参考正弦电压和阶梯调制波积分相同[22-24]，但是它没有优化谐波失真，可能带来电压基频幅值失真。最小面积差法的主要目标是在每一个电平上，参考正弦电压和阶梯电压之差的积分最小[25]，它同样会引入电压基波幅值失真。
总谐波失真是衡量逆变器输出波形质量的重要参数，本文主要研究最小化阶梯波调制中总谐波失真的方法。文献[26]采用Levenberg-Marquardt迭代法计算导通角，文献[27]提出粒子群优化算法，这些方法时间复杂度高，在线实现困难；同时，要求电压基频幅值不能随时间改变，且忽略高次谐波的影响，因而并不是严格数学意义下的最优解法。如果基频电压幅值是可变的，则需要离线解出对应于不同基频幅值下各电平的导通角，运行时通过查表得到各电平导通角。查表法虽然能降低计算复杂度，但精度和分辨率较低，并占用大量存储容量。有学者提出一种最小化总谐波失真的解析方法[28-29]，能在线计算导通角，但仅优化了最多电平数量下的导通角，没有考虑较少电平数量下的限制条件，基频电压幅值也被限定在一定范围内；当电平数量多时利用牛顿—拉普逊迭代法，计算复杂。
本文利用KKT条件法，提出了一种在大范围基频电压下最小化阶梯波总谐波失真的在线计算方法，并利用函数逼近的方法简化计算过程。
1 级联型逆变器阶梯波调制简述
H桥级联型逆变器的拓扑结构如图1所示。它由N个模块组成，每个模块有一个直流电压源，以及由四个开关器件及反并联二极管构成的H桥。
在图1中，对于第j个模块来说，它的直流电压源是，输出电压为。当和导通，和关断时， ；当和导通，和关断时，；当和导通，和关断时，。所以 其中， 总输出电压为
图1中的拓扑总共有个电平，输出电压的范围是，并包含此区间内的的整数倍电压。这里规定各模块输出电压的极性不能相反。在阶梯调制中，输出电压的波形如图2所示。
在图2中，F是正半周最高电平数量，是输出电压从阶跃至的导通角。对图2中的波形使用傅立叶分析，得到它的n次谐波分量为 其中n是奇数，偶次谐波为零。定义调制系数m为 (4)
当时，基频分量达最大值为 调制系数的范围为 (6)
总谐波失真定义为 根据帕斯瓦尔定理，有 (8) 其中，，。
将式（8）代入式（7）得
2 总谐波失真最小化方法
本节利用KKT条件法推导最小化总谐波失真的导通角计算方法。目标是在特定的调制系数m下，求得一组导通角，使得式（9）中的总谐波失真最小。不失一般性，设，最高电平数为，在图1中。它等价于以下最优化问题： (11) (12) (14)
其中，。，和都是关于的连续可导函数。设是的一个局部极值点，则存在以及满足 (16)
下一步求的所有局部最小值。对于一个特定的解，定义有效子集 。根据式（15），得
式（16）表明如果，可能是任意的非负实数，但对于任意的，。下面确定所有对应于调制系数m的有效子集。假设满足最大的数值是，现在证明对于任意的，。
对任意的，如果但 ，显然, 且。可以推导出下述等式： (19)
所以，则且 。同样可以证明对于任意的，且，则。这样式（18）的左侧必定为负值，继而产生逻辑矛盾。所以必然不存在，。得证。
上述结论表明,都非零并且彼此不同。对于任意的，且，则。为阶梯的级数。 讨论非有效子集。由式（13），得 所以
(21)
根据的约束条件，有
对于特定的，有对应的调制系数的区间使得式（21）和式（22）成立。设其下界为，上界为。要使式（22）的等号左侧为一实数，须满足。所以的下界为 (23)
当达到最大值时，。即
当时，，显然，则，，与上文中的假设矛盾。所以不能完全达到它的下界。而当时，，与上文中的结论,, ,非零相矛盾，所以不包含它的上界。因此，与相对应的调制系数的区间为。当时，，各级所对应的和如表1所示。
对某个特定的调制系数，满足的任意均是一个合理的阶梯级数的选择。我们可以求得所有的满足的，并通过式（22）求得与和对应的，将代入式（21）得到一组局部最优解。这一组局部最优解是全局最优解的备选解。为保证上述解法不是退化的，下面证明它符合线性独立约束规范（LICQ），即有效不等式约束的梯度和等式约束的梯度于任意局部最优解处线性独立。 等式约束于的梯度为 有效不等式约束于的梯度为 (26)
矩阵的秩为，所以有效不等式约束于局部最优解处相互线性独立。同时由于, ,, 非零且互不相同，和线性独立。所以上述解法满足LICQ。得证。
我们需要从局部最优解集选取全局最优解。下面证明：当且仅当处于区间时，与相对应的局部最优解为全局最优解。这个命题等价于：当调制系数处于区间时，相对于对应的局部最优调制波形，对应的局部最优调制波形总谐波失真更
级联型多电平逆变器最小总谐波失真阶梯调制策略研究
