2024-2024年新人教a版高中数学必修一《一元二次方程和一元
二次函数》教案
1、解释“元”和“次”：“元”是指未知数的种数，“次”是指式子中单项式的最高次数. 2、形如：ax?bx?c?0(a?0)叫做一元二次方程. ⅰ、求根公式的推导（提示：用配方法，?a??a）
ⅱ、从而得到一元二次方程的根与判别式的关系 ， ， 。 ⅲ、一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理):设ax?bx?c?0(a?0)的两个根分别为x1、x2
22?b?b2?4ac?b?b2?4ac思路一:由求根公式可设x1?,x2?则x1?x2? 2a2ax1?x2?
思路二:由题设可知: ax?bx?c?0(a?0)?a(x?x1)(x?x2)?0(a?0) (造方程思想)
即: ax?bx?c?ax?a(x1?x2)x?ax1x2同样可得x1?x2? x1?x2? Ⅳ、用十字相乘法分解下面二次多项式
222x2?5x?6 x2?3x?2 x2?7x?6 x2?4x?21 x2?2x?15 x2?10x?39 ?x2?2x?15 (a?b)2?4(a?b)?3 x2?3xy?2y2
（十字相乘法的主要作用是用来求一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)）的根，若不能或
2?b?b2?4ac不易十字分解则用公式x?求根即可）
2a3、形如：y?ax?bx?c(a?0)叫做一元二次函数
2b24ac?b2)?ⅰ、配方得：y?ax?bx?c?a(x? 2a4a2b4ac?b2b,ii、对称轴：x??， 顶点（?） 2a4a2aiii、画y?ax?bx?c(a?0)?>0时简图的依据是:
①开口方向 ②三点(顶点和抛物线与x轴的两个交点) ③一线(对称轴) 思考一:顶点如何得到?
2b4ac?b2b2,法一:用公式（?）, 法二：把横坐标x??带入y?ax?bx?c得到顶2a4a2a点纵坐标.
思考二:与x轴的交点如何得到?
因为x轴上的点的纵坐标为0,所以横坐标为ax?bx?c?0的根.
(说明:函数图像上点的横坐标是指自变量x,相应的纵坐标是指自变量x对应的函数值y) 例1:画出函数y?x?3x?4的简图,观察图象说明y?0，y?0，y?0所对应的图象，并指出相应x的取值范围.
拓展研究一:二次函数解析式的形式 一般式：y?ax?bx?c(a?0)
顶点式：y?a(x?h)?k(a?0) 其中顶点为（h,k） 解析：因为
2222b24ac?b2b24ac?b2y?ax?bx?c?a(x?)??a[x?(?)]?(a?0)
2a4a2a4a2b4ac?b22,顶点为（?），所以相应y?a(x?h)?k(a?0)的顶点为（h,k）. 2a4a双根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0) 其中x1、x2为ax?bx?c?0(a?0)的两个根，也可以说是y?ax?bx?c(a?0)的图像与x轴交点的横坐标。 解析：若已知ax?bx?c?0(a?0)的两个根分别为x1、x2， 则ax?bx?c?0(a?0)?a(x?x1)(x?x2)?0(a?0)， 故解析式可设为：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)
例2：已知二次函数的图像过点（2，-1）和（-1，-1）且最大值为8，求该二次函数的解析式。
2222
例3：已知二次函数的图像与x轴相交于点（-1，0）、（3，0）且过点（2，6），求该二次函数的解析式。
例4：已知二次函数的图像关于x?2对称，顶点为A，与x轴的交点为B（-1，0）和点C，且△ABC的面积为18，试求该二次函数的解析式。
拓展研究二:二次方程的实根分布问题
2
1、(1)方程x－2ax＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是________．
2
(2)方程x－2ax＋4＝0的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，则实数a的取值范围是________．
2
2、方程x－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．
拓展研究三:二次函数的单调性及值域问题（选做）
2
1、函数f(x)＝ax＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞)上递减，则a的取值范围是________．
2024-2024年新人教a版高中数学必修一《一元二次方程和一元二次函数》教案
