解得：x＝2000， 故答案为：2000. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.
15．【解析】解：原式==故答案为：
解析：2?【解析】 解：原式=2?3． 23321= 2?2?．故答案为：． ?1??2222216．30【解析】【分析】由图象可以V甲＝9030＝3m/sV追＝90120-30＝1m/s故V乙＝1+3＝4m/s由此可求得乙走完全程所用的时间为：12004＝300s则可以求得此时乙与甲的距离即可求出
解析：30 【解析】 【分析】
由图象可以V甲＝
＝3m/s，V追＝
＝1m/s，故V乙＝1+3＝4m/s，由此可求得乙走
完全程所用的时间为：遇的时间． 【详解】 由图象可得V甲＝
＝300s，则可以求得此时乙与甲的距离，即可求出最后与甲相
＝3m/s，V追＝＝1m/s，
∴V乙＝1+3＝4m/s， ∴乙走完全程所用的时间为：
＝300s，
3＝990m． 此时甲所走的路程为：（300+30）×此时甲乙相距：1200﹣990＝210m 则最后相遇的时间为：故答案为：30 【点睛】
此题主要考查一次函数图象的应用，利用函数图象解决行程问题．此时就要求掌握函数图象中数据表示的含义．
＝30s
17．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠D＝90°∵将矩形ABCD沿CE折叠点B恰好落在边AD的F处∴CF＝BC∵∴∴设CD＝2xCF＝3x∴∴tan∠DCF＝故答案为：【点
5． 2【解析】 【分析】 【详解】
解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC， ∵
AB2CD2?，∴?．∴设CD＝2x，CF＝3x， BC3CF3∴DF=CF2?CD2?5x． ∴tan∠DCF＝
DF5x5． ?=CD2x2故答案为：【点睛】
5． 2本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．
18．6【解析】分析：根据BD=CDAB=CD可得BD=BA再根据AM⊥BDDN⊥AB即可得到DN=AM=3依据∠ABD=∠MAP+∠PAB∠ABD=∠P+∠BAP即可得到△APM是等腰直角三角形进而得到
解析：6 【解析】
分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=32，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=2AM=6． 详解：∵BD=CD，AB=CD， ∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB， ∴DN=AM=32，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP， ∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形， ∴AP=2AM=6， 故答案为6．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM是等腰直角三角形．
19．110°或70°【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶
角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角
解析：110°或70°． 【解析】
试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．
考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．
20．10【解析】【分析】试题分析：把（a﹣4）和（a﹣2）看成一个整体利用完全平方公式求解【详解】（a﹣4）2+（a﹣2）2=（a﹣4）2+（a﹣2）2-2（a﹣4）（a﹣2）+2（a﹣4）（a﹣2）=
解析：10 【解析】 【分析】
试题分析：把（a﹣4）和（a﹣2）看成一个整体，利用完全平方公式求解． 【详解】
（a﹣4）2+（a﹣2）2=（a﹣4）2+（a﹣2）2-2（a﹣4）（a﹣2）+2（a﹣4）（a﹣2） =[（a﹣4）-（a﹣2）]2+2（a﹣4）（a﹣2） =（-2）2+2×3 =10 故答案为10 【点睛】
2ab+b2求解，整体思想的运用使运算更加简便． 本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±
三、解答题
21．?1?4，4；?2? 3150分． 【解析】 【分析】
?1?根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分
数为该组数据的众数；
?2?算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践
活动成绩的总分． 【详解】
解：?1?由题意，将50人的成绩从小到大排序后，第25和第26个的平均数就是中位数，∵2+9+13=24
∴第25和第26个成绩都是4，故本组数据的中位数为4 ∵成绩在4分的同学人数最多 ∴本组数据的众数是4 故填表如下： 随机抽取的50人的社会实践活动成绩中位数 4 众数 4 (单位：分) ?2?随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：
1?2?2?9?3?13?4?14?5?12?3.5(分)．
50估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.5?900?3150(分)． x?【点睛】
考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．
22．甲公司有600人，乙公司有500人. 【解析】
分析：根据题意，可以设乙公司人数有x人，则甲公司有(1+20%)x人；由乙公司比甲公司人均多捐20元列分式方程，解之即可得出答案.
详解：设乙公司有x人，则甲公司就有（1+20％）x人，即1.2x人， 根据题意，可列方程： 解之得：x=500
经检验：x=500是该方程的实数根.
23．（1）证明见解析（2）93﹣2π；（3）3 【解析】 【分析】
6000060000 ?=20 x1.2x??CD?，再由垂径定理得（1）连结OD，如图1，由已知得到∠BAD=∠CAD，得到BDOD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是可得结论；
（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=23，得到∠BDF=∠DBP=30°，在Rt△DBP中得到PD=3，PB=3，在Rt△DEP中利用勾股定理可算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，得到
CE=1，由△BDE∽△ACE，得到AE的长，再证明△ABE∽△AFD，可得DF=12，最后利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）进行计算； （3）连结CD，如图2，由
AB4??CD?得到?可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由BDAC3CD=BD=23，由△BFD∽△CDA，得到xy=4，再由△FDB∽△FAD，得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程即可得到BF=3． 【详解】
（1）连结OD，如图1，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
??CD?，∴OD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD，∴BD∵BC∥EF，∴OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°， ∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=23， ∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°， 在Rt△DBP中，PD=
1BD=3，PB=3PD=3， 2在Rt△DEP中，∵PD=3，DE=7，∴PE=(7)2?(3)2=2， ∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，
易证得△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：7，∴AE=57，∵BE∥7575BEAE?7，解得DF=12， DF，∴△ABE∽△AFD，∴?，即
DF125DFAD7在Rt△BDH中，BH=
1BD=3，∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）2160??(23)23=?123???(23)2=93?2?； 23604（3）连结CD，如图2，由CD=BD=23， ∵∠F=∠ABC=∠ADC，
∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA， ∴
AB4??CD?，∴?可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵BDAC3BDBF23y?，即，∴xy=4， ?ACCD3x23∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，
2024-2024中考数学试卷含答案
