第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共八题，满分160分。 一、（15分）1、（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s,假设它是由均匀分布的物质构成的球体,脉冲周期是它的旋转周期,万有引力是唯一能阻止它离心分解的力,已知万有引力常量
?113?1?2,由于脉冲星表面的物质未分离,故可估算出此脉冲星密度的下限是 G?6.67?10mkgs?3kgm
q1q292?22、（5分）在国际单位制中，库仑定律写成F?2，式中静电力常量k?8.89?10NmC，
r电荷量q1和q2的单位是库仑，距离r的单位是米，作用力F的单位是牛顿,若把库仑定律写成更简洁的形式F?q1q2，式中r的单位是米，作用力F的单位是牛顿，由此式可定义一种电荷量q的新单2r位,当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为了新单位= C。
3、（5分）电子感应加速器（betatron）的基本原理如下：一个圆环形成真空室处于颁布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向没圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直，图中两个同心的实绩圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律为B?b0cos(2?t/T)，其中T为磁场变化的周期，B0为大于0的常量，当B为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外，若持续地将初速度为v0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t= 到t= 。
1. 1.3?10 2. kg12?5?5610(或答1.05?10)?m2?s?1 1.0?14333. T T
4
二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高
H0?2.05?102km，远地点离地面高H1?5.0930?104km，周期约为16小时，稀为16 小时轨道
（如图中由线1所示），随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点，后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转轨道（分别如图中曲线3、4、5所示），已知卫星质量m?2.350?10kg，地球半径
3R?6.378?103km，地面重力加速度g?9.81m/s2，月球半径r?1.738?103km。
1.试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率。
2.在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以诊断椭圆轨道长轴方向不变，设推力的方向与卫星速度方向相同，抬高到600km，问点火时间应持续多长？
3.试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。
4.卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度H0约为
200km，周期Tm?127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。
二、参考解答：
1. 椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）rn与rf的算术平均值，即有
a?111r?r?H?R?H?R????nf???n??f???Hn?Hf??R (1) 2224代入数据得 a?3.1946?10km (2)
椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有
b?rnrf (3)
210 k m代入数据得 b?1.94? (4)
4a2?b2椭圆的偏心率 e? (5)
a代入数据即得 e?0.7941 (6)
2. 当卫星在16小时轨道上运行时，以vn和vf分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有
1GMm1GMm2 (7) mvn??mvf2?2rn2rf式中M是地球质量，G是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的
连线垂直，根据角动量守恒，有
mvnrn?mvfrf (8)
GM?g (9) R2由(7)、(8)、(9)式可得 vn?rf2gR (10)
rnrf?rnvf?rnr2gvn?nR (11) rfrfrf?rn当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有
rn?R?Hn rf?R?Hf
由(11)式并代入有关数据得 vf?1.19km/s 8 (12)
依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，
加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是
4新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度Hf??Hf?5.0930?10km，但新轨道近地点高度
??6.00?102km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 Hnkm/s (13) v?f?1.230卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为?t，有
m?v?f?vf??F?t (14)
由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 ?t=1.5?10s (约2.5分) (15)
这比运行周期小得多
3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，?表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 L?rmvsin??2m? (16 ) 其中
2??rvsin? （17）
12是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故?是恒量.利用远地点处的角动量，得
??rfvf (18)
又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 S?πab (19) 所以卫星沿轨道运动的周期 T?由(18)、(19)、(20) 式得 T?12S? (20)
2πab (21) rfvf8代入有关数据得 T?5.67?41s 0(约15小时46分) (22)
23注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比
?T??a?的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即?????
?T0??a0??2π?GMm?ma若a0是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有? 0?2a0?T0?2T024π24π2得 3? ?a0GMgR2从而得 T?2πaRa g代入有关数据便可求得(22)式
4．在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有
GMmm2π2?mr() (23) m2rmTm这里rm?r?Hm是卫星绕月轨道半径，Mm是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得
第25届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案2008年
