第四章习题与复习题(线性空间)----高等
代数
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习题5. 1
1．判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．
2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为
a?b?ab ka?ak 其中a,b?R?,k?R判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.
3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为
A?B?AB?BA
按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 4．在P2?2中，W??A/A?0,A?P2?2?,判断W是否是P2?2的子空间.
习题5.2
1．讨论P2?2中
?a1??1a??11??11?A1??,A?,A?,A??2??3??4?? 1111a11a????????的线性相关性.
2．在R4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标.其中
?0??1??2??1??0???????????01111????，?1=??，?2=??，?3=??，?4???
?0??0??3??0???1???????????1110??????????1??23??11??0-1??1-1??10?3.在P2?2中求????在基?1=??，?2=??，?3=??，?4=??下的坐标. 4?711100000??????????4．已知R3的两组基
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?1??1??1??????1，?=0，?=（Ⅰ）： ?1=?23?????0? ?1??-1??1????????1??2??3??????4（Ⅱ）：?1=?2?，?2=?3?，?3=???
?1??4??3???????（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；
?1??（2） 已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为??0?,求?在基?1,?2,?3下的坐标；
?-1????1??-1（3） 已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为???,求?在基?1,?2,?3下的坐标; ?2???（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量?. 5．已知P[x]4的两组基
（Ⅰ）：f1(x)?1?x?x2?x3，f2(x)??x?x2，f3(x)?1?x，f4(x)?1
（Ⅱ）：g1(x)?x?x2?x3，g2(x)?1?x2?x3，g3(x)?1?x?x3，g4(x)?1?x?x2 （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).
习题5.3
证明线性方程组
?3x1?x2?6x3?4x4?2x5?0??2x1?2x2?3x3?5x4?3x5?0 ?x?5x?6x?8x?6x?02345?1的解空间与实系数多项式空间R[x]3同构.
习题5.4
1．求向量???1,?1,2,3? 的长度.
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2．求向量???1,?1,0,1?与向量???2,0,1,3?之间的距离. 3．求下列向量之间的夹角 （1） ???1,0,4,3?，????1,21,,?1? （2） ???1,2,2,3?，???3151,,,? （3）???1,1,1,2?，???31，，?1,0?
3．设?，?,?为n维欧氏空间中的向量，证明: d(?,?)?d(?,?)?d(?,?).
习题5.5
1．在R4中，求一个单位向量使它与向量组
?1??1,1,?1,?1?，?2??1,?1,?1,1?，?3??1,?1,1,?1? 正交.
?1??1??0??????1,??2,??2．将R3 的一组基?1??23??????1?化为标准正交基. ?1??1??1???????3．求齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4?3x5?0 ?x?x?x ?x?01235?的解空间的一组标准正交基. 3．
设?1,?2 ,… ,?n 是n维实列向量空间Rn 中的一组标准正交基, A是n阶正
交矩阵,证明: A?1,A?2 ,… ,A?n 也是Rn 中的一组标准正交基． 5．设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组标准正交基, 证明
?1?(2?1?2?2??3),?2?(2?1??2?2?3),?3?(?1?2?2?2?3)
131313也是V的一组标准正交基.
习题四 (A)
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一、填空题
1．当k满足 时，?1??1,2,1?,?2??2,3,k?,?1??3,k,3?为R3的一组基. 2．由向量???1,2,3?所生成的子空间的维数为 . 3．R3中的向量???3,7,1?在基?1??1,3,5?,?2??6,3,2?,?3??3,1,0?下的坐标为 . 4. R3中的基?1,?2,?3到基?1???2,1,3?,?2???1,0,1?,?3???2,?5,?1?的过渡矩阵为 . 5. 正交矩阵A的行列式为 . 6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 7.已知?1??2,1,1,1?,?2??2,1,a,a?,?3??3,2,1,a?,?4??4,3,2,1?不是R4的基且a?1,则a满
足 . 二、单项选择题
1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A） V1???x1,0,?,0,xn?x1,xn?R?
（B） V2???x1,x2,?,xn?x1?x2???xn?0,xi?R? （C） V3???x1,x2,?,xn?x1?x2???xn?1,xi?R? (D) V4???x1,0,,0,0?x1?R?
?1??2.在P3?3中,由A??2??生成的子空间的维数为（ ）.
?3???(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
3.已知?1,?2,?3是R3的基,则下列向量组( )是R3的基.(A) ?1??2,?2??3,?3??1 (B)?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1 (C) ?1??2,?2??3,?1?2?2??3 (D) ?1??2??3,2?1?3?2?22?3,3?1?5?2?5?3
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