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高考数学二轮复习专题提能五解析几何综合问题中优化运
算的提能策略能力训练理
1．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且＝2，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
解析：(1)由题意知，c＋＝3， 所以b＝c，a2＝2b2， 所以e＝＝＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)， 因为＝2，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，即y1＝－2y2， ①
由(1)知，椭圆方程为x2＋2y2＝2b2. 由消去x，
得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0， 所以y1＋y2＝， ② 由①②知，y2＝－，y1＝， 因为S△AOB＝|y1|＋|y2|， 所以S△AOB＝3·＝3·≤3·＝，
当且仅当|k|2＝2，即k＝±时取等号，
(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以，，，四点共面．(2)因为，分别为AB，的中点．所以EF∥BC，又EF?平面BCH， 2
＋|k||k|
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此时直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
2．(2024·石家庄摸底)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．
解析：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2， 则k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得·＝－， 整理得＋＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋x1x2＋(y1－2)(y2－2)＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－20＜·＋·≤－.
当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20. 综上，·＋·的取值范围为.
3．(2024·浦东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以，，，四点共面．(2)因为，分别为AB，的中点．所以EF∥BC，又EF?平面BCH， 2 / 5
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