【2014·安徽卷】设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*. (1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；
1p－1c1
(2)数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a1n－p，证明：an＞an＋1＞c.
pppp
1
(2)方法一：先用数学归纳法证明an>c.
p1
①当n＝1时，由题设知a1>c成立．
p
1
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>cp成立． p－1c
由an＋1＝an＋a1n－p易知an>0，n∈N*.
ppak＋1p－1c
当n＝k＋1时，＝＋ak－p＝
akpp1?c?1＋?－1?.
k?p?ap
111?c?由ak>c>0得－1<－
k?ppp?ap
c?>1＋p· 1?c－1?＝c. ?ak＋1?＝?1＋1?－1?由(1)中的结论得?????k?ap?k??p?ap?ak??p?ap?k?1
因此apk＋1>c，即ak＋1>c，
p
1
所以当n＝k＋1时，不等式an>c也成立．
p
1
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．
pan＋11?can＋1?再由＝1＋?－1?可得<1，
n?anp?apan即an＋1 p p 1 综上所述，an>an＋1>c，n∈N*. p p－1c1 方法二：设f(x)＝x＋x1－p，x≥c，则xp≥c， pppc?p－1cp－1? 1－所以f′(x)＝＋(1－p)x－p＝??>0. ppp?xp? 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立． 1 综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c均成立． p 【2014·福建卷】已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2 (3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2 当x 且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0， 故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0， 所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2 (3)证明：①若c≥1，则ex≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2 取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2 1 ②若0 c 综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2 (3)对任意给定的正数c，取x0＝4c， xx?x?2?x?2 由(2)知，当x>0时，ex>x2，所以ex＝e·e>??·??， 22?2??2? ?x?当x>x0时，ex>???2? 2x24x21 ??>??＝x2， ?2?c?2?c???? 因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2 1 (3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有x3 3证明如下： 1 令h(x)＝x3－ex，则h′(x)＝x2－ex. 3由(2)知，当x>0时，x2 从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 1 所以h(x) 3311 取x0＝，当x>x0时，有x2 cc3 因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2 【答案】y＝－5x＋3 【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3. 【2014·江西卷】若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． 【答案】(－ln 2，2) 【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)． 【2014·江西卷】已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)． (1)当b＝4时，求f(x)的极值； ?1?(2)若f(x)在区间?0，?上单调递增，求b的取值范围． ?3? 【2014·全国卷】 曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A．2e B．e C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为y′＝(xex－1)′＝ex－1＋xex－1，所以y＝xex－1在点(1，1)处的导数是y′|x＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y＝xex－1在点(1，1)处的切线斜率是2. 【2014·新课标全国卷Ⅱ】设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 1 【答案】D 【解析】y′＝a－，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3. x＋1【2014·陕西卷】设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数． (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．
2024年高考数学一轮复习专题13导数的概念及其运算教学案文
