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12. 等差数列﹑等比数列
一般 数列
数列an中的项用一个公式表示， an f(n) 通项公式
an
S1,n 1,
Sn Sn1,n
2.
an
前n项和
Sna1 a2
f(n)型
an
累加法 累乘法
简单 的递 推数 列解 法
数 列 、 等 差 数 列
等
an1
an
a
n1
anf(n)型
a
n1
pan
q p(p
n1
0,1,q 0)
an1 pn1
an p
n
q
转化法
解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即转化为两类基本数列----等差数
a
n1
a
can
列、等比数列求解。
待定 系数法
d(c0,1,d 0)
n1
c(an
)。
比较系数得出 ，转化为等比数列。
概念
满足an1
an
d（常数），d
0递增、d
0递减、d
0 常数数列。
等差
通项 公式
比
数列
an
a1(n1)dam
aman
(nm)d
am
ap an
aq 2ap
mnpq。
数 列
an
mn2p。
前n项 和公式 概念
Snna1
n(n 1)
n(a1
d
an)
Sm,S2m
Sm,S3mS2m,为等差数列。
2
满足an1 :an
2
q（q 0的常数），单调性由a1的正负，q的范围确定。
通项
an
aq
n1 1
amq
nm
amanapaq
mnpq，
等比
数列
公式
amanap
2mn2p
an
aq前n项Sn 和公式
a1(1q)a1
1q na1,q
1.
n
n,q1,
公比不等于
1 q
Sm,S2m
1时，
Sm,S3mS2m,
成等比数列。
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13. 数列求和及其数列的简单应用
n(n1)
Snna1
n(a1an)
d
2
aq等差数列
，特别123
n
n(n 1)
。
2 2
常
a1(1q)a1 1q
na1,q
2
2
n
n,q1,
，特别1
2
n1
n
用
求 和 公 式
等比数列
Sn
1 q
1.
2 2
2
21。
自然数 平方和
1
2
2 3
2
n (2n1)(1
3
2
n) n(n 1)(2n 1) 。
6
2
数 列
求 和 及 数 列 的 简 单 应 用
自然数 立方和
3
3
1
2
3
n
(12
n)
2
nn(n1)
2
。
公式法
如an
2
2n,an 3。
n ( 1)n2。
分组法
如an
n
2n 2，an
常用裂项方法：
1
1
2
n(n k)
1 1 ( k n
1
)；
n k
常 用 求 和 方 法
裂项法
如an
1
1
1
。
1 1
1
；
n(n1)nn1
1 4n 2
错位 相减法
如an
0n
(2n1)
2
n
。
n12n1n1
1 1 1
；
1 2 2n 1 2n 1
nn
n
1
1 (n1)2
n1
1
n
n(n1)2
n2 。
倒序 相加法
如C
C
1n
kCn
k
Cn。
等差数列 基本特征是均匀增加或者减少。
数 列 模 型
等比数列
基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。
一个简单 递推数列
基本特征是指数增长的同时又均匀减少。 如年收入增长率为
20%，每年年底要拿出
a（常数）作为下年度的开销，即数列
an满足an11.2ana。
注：表中n,k均为正整数
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14. 空间几何体（其中为半径、为高、为母线等）
r
h
表面积
2S底
l
体积
棱柱 S全 S侧 VS底h高
1
V
棱锥
S全 S侧 S底
S底h高
3 1
1
S
上底
S
下底
表 面
棱台
S全 S侧
表面 积即 空间 几何
V
V锥
Sh 3
S
S'
(S'S'SS)h
3
积
和 体 积
圆柱
S全 2r
2
2rh
体暴 露在 外的 所有 面的 面积
V
rh
2
V台
1
(S' S'SS)h
3
S'
0
圆锥
S全
r
2
rl
V
1r2h 3
V柱 Sh
2
(r'圆台
1
r
S全
2r'lrl) 之和。
V
(r' 3
2
r'rr
2
)h
球
S球4R
2
V球
4 R 3
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15.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）
：
公理1
基
公理2
A l,Bl,A
A,B,C不共线
,B
l
。 。
用途
判断直线在平面内。
确定平面。
本
公 理
A,B,C确定平面
公理3
确定两平面的交线。
P
,P , l P l
公理4线线
位 置 关系
点线面
a∥c，b∥c l,Bl；A ,l
A,l
a∥b
,B
。
两直线平行。
共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
线面面面 ??
A l
.。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。
∥
，
l。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。
判定定理
性质定理
平 行 关 系空 间 点 、
直
线面
a
a
,b
,b
,a//b
,a b
a//
a∥，a
线线平行 线面平行
，
线面平行
b
线线平行
a∥b
面面
P
a// ,b//
//
//,
a,
b
线线平行
a//b
面面平行
垂
线面
线面平行 面面平行
线
、
直
m a
,n m,an
l
,m
n P
a
a
b
平
面
关
系
a∥b
的 面面
线线垂直 线面垂直
线线垂直 线线平行
位
置 关 系
,l
,
特殊情况
l,a
面面垂直
,al
线面垂直 范围
a
??
线面垂直
定义
面面垂直
线线角
把两异面直线平移到相交时两相交直线
两直线平行时角为0 所成角为90时称两直 线垂直
所成的角。
0,
2
空 线面角 间 角
线面平行或线在平面内 时线面角为0
平面的一条斜线与其在该平面内射影所 成角。
线面垂直时线面角为
0,
2
90 0
面时为180 当二面角为90 个平面垂直
两个半平面重合时为
二面角
在二面角的棱上一定向两个半平面内作 垂直棱的垂线，这两条射线所成角。
两个半平面成为一个平
0,
时称两
空 间 距 离
点面距
从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离。 直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离。
两个平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离。
线面距 面面距
线面距和面面 距 转化为点面距。
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