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8. 函数与方程﹑函数模型及其应用
概念
函数 零点
存在定理
方程f(x) 点
0的实数根。方程
f(x)0有实数根
函数y
f(x)的图象与x轴有交
函数y
f(x)有零点．
图象在[a,b]上连续不断，若 f(a)f(b)0，则y f(x)在(a,b)内存在零点。
对于在区间
a,b上连续不断且fafb 0的函数y fx，通过不断把函数
方法
fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近
似值的方法叫做二分法．
第一步
确定区间 a,b，验证f(a)f(b) 0，给定精确度
。
二 分 法
第二步
求区间
a,b的中点c；
步骤
：（1）若计算f c f
则令 b （此时零点
c 0，则c就是函数的零点；（2）若fa
3fc fb 0 x0 a,c
fc
0，
第三步
）；（）若
，则令a
c（此
时零点x0
c,b）．（4）判断是否达到精确度
:即若a b
，则得到零
点近似值 a（或b）；否则重复（2）～（4）．
概念
把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。
阅读审题 数学建模
分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。
函数 建模
解题步骤
弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。 利用数学方法得出函数模型的数学结果。
解答模型
解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。
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9. 导数及其应用
概念 与几
何意
义
概念
几何
函数y
f(x)在点x
x0处的导数f'(x0)lim
x
f(x0x)f(x0)。
0
x
f'(x0)为曲线y
f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率，切线方程是
意义
yf(x0)f'(x0)(x
n
x0)。
nx(n sinx；
n1
C0（C为常数）；(x)
基本 公式
N)；
(sinx) cosx，(cosx) (e)
x
xxx
1 ' x
(ln x)'
e，(a) alna（a 0，且a 1）； 11
，(logax) logae（a0，且a (lnx) 1）． x x
1 ；
2x 1
。
x
运算
[f(x) g(x)] f(x) g(x)； [f(x) g(x)] f(x)g(x)f(x) g(x)
运算
法则
，
[Cf(x)]Cf(x)； 1
g(x)． g(x)
2
f(x) g(x)
f(x)g(x)g(x)f(x)(g(x)0)，
g(x)
2
g(x)
复合函数求导法则
导 数 及 其 应 用
y
f(g(x))' f'(g(x))g'(x)。
单调性
f'(x) 0的各个区间为单调递增区间； f'(x0)
f'(x)0的区间为单调递减区间。
x0为极小（大）值点。
研究 函数 性质
极值
0且f'(x)在x0附近左负（正）右正（负）的
最值
a,b上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极
大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。
x
概念
ax0 x1 fx 在区间 a,b 上是连续的，用分点
等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi 区间a,b
b
i1
xi
xnb将
上任取一点i
n
n
（i 1,2, ,n），
f x dx lim
a
i1
baf n
。
i
基本 定理
定积 分
如果
b a b a b a b a
fx
是
a,b 上的连续函数，并且有Fx
F a ．
fx，则
f xdx
Fb
b
kf xdx
k
a
fxdx（k为常数）；
b
性质
b a
fxgxdx
c a
fxdx
d c
a
gxdx；
f xdx
f xdx
f xdx．
简单 应用
区间a,b上的连续的曲线 边梯形的面积S
b
y
f(x)，和直线x
a.x b(ab),y
0所围成的曲
f(x)dx。 a
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10. 三角函数的图像与性质
定义
任意角
的终边与单位圆交于点
P(x,y) 时，siny,cos
x,tan
y
．
基
本 问 题
2
x
同角三角 函数关系 诱导公式
sin
2
cos
1,sin cos
tan
。
360
值域
,180
周期
，
，90 ,270
，“奇变偶不变，符号看象限”．
单调区间 奇偶性
对称中心 对称轴
y
三 角 函 数 的 性
（x
sinx
增
2k
1,1
R）
2k, 2k
2 2
3
2k , 2k 减
2 2
增
x
(k ,0)
k
奇函数
2
三 角 函
数 质 的 与
y cosx （x R）
2k ,2k 2k ,2k
1,12k
偶函数
(k
2
,0)
x
图 图 象 象 与 性
减
k
y
(xk
tanx
)
k ,0
质
R
k
增
k,k 2
2
奇函数
无
2
2
上下平移
平移变换
左右平移
y
f(x)图象平移k得y
f(x)
k图象，k 0向上，k
0向下。
y f(x)图象平移 得y f(x )图象， 0向左， 0向右。
图 象 变 换
x轴方向
伸缩变换
y
f(x)图象各点把横坐标变为原来
1
倍得y f(x)的图象。
y轴方向
中心对称
对称变换
轴对称
y y
f(x)图象各点纵坐标变为原来的 A倍得y Af(x)的图象。
f(x)图象关于点(a,b)对称图象的解析式是
y2b
f(2ax)
y f(x)图象关于直线 x a对称图象的解析式是 y f(2a x)。
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11.
三角恒等变换与解三角形
和差角公式
正弦
倍角公式
sin(
)
sin2
2sin cos
2
2
2tan
sin2
sin cos
cos sin
1
变换 公式
tan1 tan
2 2
余弦
cos(
正切
)
cos2 2cos
cos
2
sin
cos2
2
1 tan1
2
2
cos cos
sin sin
1 12sin
sin
2
cos2
2tan
tan(
定理
)
tan tan
cos
12
1 tan tan b
c
。
tan2
1tan
2
cos2 2
正弦 定理
变形
a
类型
sinA sinB sinC
a 2RsinA,b 2RsinB,c
径）。
2RsinC（R外接圆半 a
射影定理：
定理
余弦 定理
三 角 恒 等
变
b c
bcosC ccosB acosC ccosA acosB bcosA
三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。
2
22
2
2
2
2
变形
a b c 2bccosA,bb c
2
2a
c 2accosB,c a
2
2a b
222abcosC。
类型
a
2
(bc)
cosA
基本 公式 导出 公式
2bc 2bc
1等。
面积换
公式
两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）
、三边。
与 解 三 角 形
S
1 2
1
aha
bhb
1 2
chc
1
1
abc2
1
absinC bcsinA 2 2
1 2
acsinB。
基本思想
S
（R外接圆半径）；S
4R
(a bc)r（r内切圆半径）。 2
把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只
要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。
实际 应用
仰 角
视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
常用术语
俯 角
视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
方
向
方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始
方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西
30°）。
角
方 位 角
某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。
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