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高中数学知识汇总
1. 集合与常用逻辑用语
概念
一组对象的全体 . x A,x A。
子集
元素特点：互异性、无序性、确定性。
x A
x A A
x B
x B,
x|x x|x
A B。
A；
AB,BCA
C
n关系
真子集 相等 交集 并集 补集 概念
x0 B,x0 A B
AAB
集
合
B,B A
n个元素集合子集数 2。
CU(AB)(CUA)(CUB) CU(AB)(CUA)(CUB) CU(CUA)
A
A B A B
A,且x B A,或x B
运算
集 合 与 常 用 逻 辑
用
CUAx|xU且xA
能够判断真假的语句。 原命题：若 逆命题：若
p，则q
命题
四种 命题
常
语
用 逻 辑 用 语
充要 条件
充分条件 必要条件 充要条件
逻辑
或命题 且命题
连接词
非命题
q，则p
否命题：若 p，则 q
q，则 逆否命题：若 p
p q，p是q的充分条件 若命题 p对应集合A，命题q对应集合 p q，q是p的必要条件 B，则 pq等价于A B，p q等 p q，p,q互为充要条件 价于A B。 p q，p,q有一为真即为真， p,q均为假时才为假。 类比集合的并 p q，p,q均为真时才为真， p,q有一为假即为假。 类比集合的交 p和p为一真一假两个互为对立的命题。 类比集合的补
，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
原命题与逆命题，否命题与逆否命题互
逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命
题互否；原命题与逆否命题、否命题与
逆命题互为逆否。 互为逆否的命题等价。
量词
全称量词
存在量词
2. 复数
虚数单位
规定：i
概念
复数
1；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、
i,4k4k34k
1,i 1 i 4k2 1,i i(k Z)。 乘运算律仍成立。i
R)的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复数 形如abi(a,b
2
的虚部。b0
时叫虚数、a 0,b 0时叫纯虚数。
复数相等 共轭复数
复数
运算
a bicdi(a,b,c,d
实部相等，虚部互为相反数。即
R) ac,b
d a
z abi，则z
bi。
加减法 乘法
(a bi)
bi)((a c
(cdi)(a c) (bd)i，(a,b,c,d di) (ac bd) (bc ad)i，(a,b,c,d
ac bd c
2
R)。
R)
除法
di(a bi) (c )
一一对应
d
2
bc da i(
c di 0,a,b,c,dR) 2 2
c d
一一对应
几何 意义
复数z
a bi
复平面内的点 Z(a,b)
2
2
向量OZ
向量OZ 的模叫做复数的模，z
a b
a
z=
bi，则首
大多数复数问题，主要是把复数化成标准的
z abi的类型来处理，若是分数形式
c di
先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数） ，在进行四则运算时，可以把 i 看作成一个独立的
2
i换成-1 字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随时把
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3. 平面向量
向量
重 要 概 念
既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 长度为0，方向任意的向量。【0与任一非零向量共线】
方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 起点放在一点的两向量所成的角，范围是
0向量
平行向量
向量夹角
0, 。a,b的夹角记为 a,b 。
投影
a,b ，bcos
叫做b在a方向上的投影。【注意：投影是数量】
重
要 法 则 定 理
基本定理
e1,e2不共线，存在唯一的实数对
(, )，使a
e1
e2 。若e1 ,e2为x,y轴上
的单位正交向量， ( ,)就是向量a的坐标。
一般表示
坐标表示（向量坐标上下文理解）
共线条件
a,b（b
0共线
存在唯一实数
，
(x1,y1)
(x2,y2)
x1y2
x2y1
a
b
垂直条件
ab ab0。
x1y1 x2y2
0。
平 面 向 量
加法 运算
法则
a b的平行四边形法则、三角形法则。 a b b
a b(x1 x2,y1
y2)。
算律
a，(a b) ca
(b c)
与加法运算有同样的坐标表示。
减法 运算
法则
a b的三角形法则。 MNONOM。
0 a
ab(x1
MN(xN
x2,y1 xM,yN
y2)
分解
yM)。
概念
数乘
各
a为向量，
与a方向相同，
0与a方向相反，
a。
a ( x, y)。
运算
种 运 算
算律
(a)(
)a，(
)a
a
a，
与数乘运算有同样的坐标表示。
(a b) a b
a,b
概念
ab
a bcos
2
ab
a
x1x2 y1y2。
2
2
x y ，
数量 积运 算
主要
aaa，abab。
2
2
2 2
性质
x1x2 y1y2
x1 y1
x2 y2
算律
ab ba，(a
b)c b)
ac bc，
与上面的数量积、数乘等具有同样
( a)ba( (ab)。
2
的坐标表示方法。
标准方程
圆的方程
222x+y=r
a 2 –
+(y b) (x– )
2
2
2
圆心 （0，0）
（a，）
b
D, E 2 2
半径 r
=r
r
2
一般方程
x+y
+Dx+Ey+F=0
E 1 D
2
24F
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4. 算法、推理与证明
逻辑
顺序结构
依次执行
根据条件是否成立有不同的流向
算法
条件结构
循环结构
程序框图，是一种用程序 框、流程线及文字说明来表
结构
示算法的图形。
按照一定条件反复执行某些步骤
基本 语句
输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。 归纳推理
由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。
合情推理
推理
类比推理
演绎推理
由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推
理。
根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理．
推理
与证明
数学
直接证明
证明
综合法
由已知导向结论的证明方法。 由结论反推已知的证明方法。
分析法
间接证明
主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。
数学 归纳 法
数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范
围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当 n取第一个值 n0（例如n0=1）时
结论正确；然后假设当
n=k(k N,k n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确．
5. 不等式、线性规划
b，bc （1）a
ac； acbc；a
两个实数的顺序关系：
（2）a
b，c0 b，c0
acbc；
（3）abac （4）a
bc； acbd；
a b a b a b a b abab0
0 0
不等式的
性质
b，cd b0，c
b0，n
n
n
（5）a （6）a
d0acbd；
N，n1
*
a b
是ab
1 ab 0。
1
的充要条件
nn
ab；a b
一元二次 不等式
解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根 （如果有实数根），再结合对 应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数 的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集．
ab
基本 不等式
ab2ab（a,b
0）；ab
ab
（a
2
0,b0）
2ab ≤ ab
ab≤ ≤
2
ab
ab 2
2
ab2
()（a,b
2
R）；
2
（a,b 2
0）；a
b
2
2ab。
二元一次 不等式组
By C 0的解集是平面直角坐标系中表示 Ax By C0某一侧所 二元一次不等式Ax
有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公
共部分。
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6. 计数原理与二项式定理
完成一件事有
分类加法
计数原理
n
类不同方案，在第
类方案中有
1
m1种不同的方法，在第
2类方案
中有m2种不同的方法，?，在第 事共有N
n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件
基本 原理
m1m2
mn种不同的方法．
分步乘法
计数原理
完成一件事情，需要分成
n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2
种不同的方法??做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N m1
m2
mn种不同的方法.
从n个不同元素中取出m(m
定义
个不同元素中取出 个不同元素中取出
排列数 公式
m
n)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从
排
列
排列
组 合 二 项 式 定 理
组合
m(m n)个元素的一个排列，所有不同排列的个数， m(m n)个元素的排列数，用符号
(n m 1)
n
叫做从n
An表示。
Ν，
m
m
An
n(n 1)(n 2)
n!
，
(nm
n)
，规定0! 1．
(n m)!
从n个不同元素中，任意取出m(m
定义
出m(m
n)个元素并成一组叫做从 n个不同元素中取 n个不同元素中取出
n)个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从 n)个元素的组合数，用符号
m(m
组合数 公式 性质
m
Cn表示。 An
m mm
n(n 1) (n
nm
m 1)
m
Cn
mn
，Cn
m．
m!
Am
1
CCn(m,n
n
0nN,且m
1n1n)；Cn Cab
Cn
mCm1n
(m,n
rN,且mn)．
定理
二项 式定 理
通项公式
系数和
公式
(a b)Cna T
rnrrr1 Cnab
Cr Cr 1 Cr
r
rr
Cnab
rnrr
n
Cnb（Cn
）
1nn叫做二项式系数）
（其中0 k n，k N，nN
2
Cn Cn 1 ； Crr1
0n
n1Cn
1Cn
2C
2rn
C
nn nn
2 ；
n
C
1n
C
3n
Cn
5
Cn
0C
2n
Cn
42;Cn 2Cn 3C
3n
nCn2.
n1
7. 函数﹑基本初等函数I的图像与性质
0 a
指数函数
1
(
, )单调递减，x
0 时y 1 ，x0
时0y
1
函数图象过 定点(0,1)
y
a
xa 1
( , )单调递增，x
)单调递减，
0时0 y 1，x 0 x
0时y 1
时y
基本 初等 函数 Ⅰ
对数函数
0 a
1
在(0,
时y 0，
1
x 1
0
函数图象过 定点(1,0)
y
logax
a 1
在(0, 在在(0,
)单调递增，0 x 1时y 0，x )单调递增，图象过坐标原点
1时y
0
幂函数
0
函数图象过 定点(1,1)
y
x
0
在在(0,
)单调递减
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