高等数学竞赛试题
第二十届高等数学竞赛试卷
一、填空题（每小题5分，本题共50分）：
2a?1. 若x?0时，(1?ax)?1与xsinx是等价无穷小，则
14.
12. x?0lim(cosx)ln(1?x2)? .
?1x2?3?0sintdt,x?0,f(x)??x??a, x?0,在x?0处连续，则a?3. 设函数
设z?xysin4.
.
y?z?z,则x?y?x?x?y.
.
1微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为：95.
?a若0?x?16.设a?0,f(x)?g(x)??,而D表示全平面，0,其他?则 I???f(x)g(y?x)dxdy?_______D
?7.
??2?(x22005?cos2x)tan2xdx?.
1??2?n?????sin?sin?sin??nnn?8. n??n?lim设空间区域?由x2?y2?z2?1所界定,计算9.
10. 设在上半平面都有f(tx,ty)?t?2.
???edv??z.
D??(x,y)|y?0?内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t?0.Lf(x,y). 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，则
.?yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?
二、计算题（每小题6分，本题共42分）：
1.用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程：(1?x2)y???xy??y?0，并求满足y解题过程是：
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x?0?1,y?x?0?2的解.
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22z?x?y(0?z?1)的下侧，计算曲面积分 ?2. 设是锥面
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?..
解题过程是：
3.设函数y?ax3?bx2?cx?2在x?1处有极小值0，且在点(0,2)处函数的图形有拐点，试确定常数a,b和c的值.解题过程是：
4.设函数f(x)在(??,?)上连续，且对任意的t满足下式：f(t)?2求函数f(x).解题过程是：
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x2?y2?t222224(x?y)f(x?y)dxdy?t??
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5.求旋转抛物面z?x2?y2与平面x?y?2z?2之间的最短距离．.
解题过程是：
6.设有一高为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程2(x2?y2)z?h(t)?(设长度为厘米，时间为小时)，h(t)已知体积减少的速率与侧面积成正比，（比例系数0.9）,问高为130厘米的雪堆全部融化需要多少时间？
解题过程是：
?7.设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,计算函数u??在点P处沿方向n的方向导数和在点P处的梯度.解题过程是：
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6x2?8y2z
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三、证明题（本题8分）：
设函数?(y)有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，?(y)dx?2xydy曲线积分?2x?y(I)证明：对右半平面x?0内的任意分段光滑?(y)dx?2xydy简单闭曲线C，有??0；C2x2?y4(II)求函数?(y)的表达式.L24的值恒为同一常数，
第二十届高等数学竞赛试卷参考答案
a?1. 若x?0时，(1?ax)?1与xsinx是等价无穷小，则
214一、填空题（每小题5分，本题共50分）：
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1(1?ax)?1~?ax224.解 当x?0时，，xsinx~x. 11?ax224(1?ax)1lim?lim42??a?1x?04x于是，根据题设有 x?0xsinx，故4.
21412. x?0lim(cosx)lim(cosx)x?0ln(1?x2)1ln(1?x)2? .
x?0ln(1?x2)解 =
elim1lncosx,
而
?sinx1?1lncosxlncosx1cosx??2lim?lim?lime?.2x?0ln(1?x2)x?0x?02x2，故 原式=xe
?1x2?3?0sintdt,x?0f(x)??x??a, x?0在x?0处连续，则a?3. 设函数
x.
limf(x)?f(0)?a解 由题设知，函数f(x)在 x?0处连续，则 x?0，
又因为
?limf(x)?limx?0x?00sint2dtx3sinx211?lim?a?x?03x23. 所以 3.
.
?y?设z?xyf??,函数f(u)可导,则xz?x?yz?y?x??4.
?zy??y??y??解:?yf???xyf?????2???x?x??x??x??z?y??y?1?y??xf???xyf????xf???yf?y?x??x?x?x?y2?y??y?yf???f???,x?x??x?y?????,?x?y?y???xz??yz?2xyf?0?2xysin?0?2z.??xyxx??1微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为：95.
2解：原方程等价为：y??y?lnx，于是通解为：x
.
y?2??dxex[?lnx?e1由y(1)??，9111xlnx?x?C39x2x211得C?0，故所求通解为：y?xlnx?x..39
dx?C]??[?x2lnxdx?C]??xdx215 / 10
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