一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limsinx(cosx?b)?5，则a =xx?0e?a1，b =?4.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为limsinx(cosx?b)?5，且limsinx?(cosx?b)?0，所以
x?0x?0ex?ax?0lim(ex?a)?0，得a = 1. 极限化为 limsinxx(cosx?b)?lim(cosx?b)?1?b?5，得b = ?4. xx?0e?ax?0x因此，a = 1，b = ?4. 【评注】一般地，已知limf(x)＝ A， g(x)(1) 若g(x) ? 0，则f (x) ? 0；
(2) 若f (x) ? 0，且A ? 0，则g(x) ? 0.
(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，
?2f则??u?v?g?(v)g2(v).
【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =
u?g(v)， g(v)
?2fg?(v)?f1所以，，??2. ??ug(v)?u?vg(v)1211?x2xe,??x?2?22，则1(3) 设f(x)???f(x?1)dx?1??1,x?22??.
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x ? 1 = t，1f(x?1)dx?1f(t)dt?1f(x)dt
??222121?2111xedx??1(?1)dx?0?(?)??.
222x2?2?1?1＝
?【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换
或配方法均可得到答案. 【详解一】因为f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2
文档
?2x1?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3
222?211???于是二次型的矩阵为 A??12?1?,
?1?12????1?12??1?12?????由初等变换得 A??03?3???03?3? ,
?03?3??000?????从而 r(A)?2, 即二次型的秩为2.
【详解二】因为f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2
?2x1?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3 113x2?x3)2?(x2?x3)2 222322?2y1?y2,
211其中 y1?x1?x2?x3, y2?x2?x3.
22?2(x1?所以二次型的秩为2.
(5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?222DX}?
1. e【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于DX?1, X的分布函数为 λ2x?0,x?0.
?1?e?λx,F(x)???0,故
P{X?DX}?1?P{X?DX}?1?P{X?}?1?F()?1λ1λ1. e【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.
(6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),
X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?j?1?i?1?? E??n1?n2?2??????σ2.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
文档
1n21n122【详解】因为 E[(Yj?Y)2]?σ2, (Xi?X)]?σ, E[??n2?1j?1n1?1i?1故应填 σ2.
【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?(A) (?1 , 0).
|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)
(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
x?a?(D) (2 , 3). [ A ]
x?b?【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f (x)
在(a , b)内有界.
【详解】当x ? 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而limf(x)??x??1?sin2sin3，limf(x)??，
?418x?0x?0?limf(x)?sin2，limf(x)??，limf(x)??，
x?2x?14所以，函数f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A).
【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.
x?a?x?b? (8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a，
x??
1??f(),x?0，则 g(x)??x??0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限limg(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元u?x?01， x可将极限limg(x)转化为limf(x).
x?0x??【详解】因为limg(x)?limf()?limf(u)= a(令u?x?0x?0u??1x1)，又g(0) = 0，所以， x
当a = 0时，limg(x)?g(0)，即g(x)在点x = 0处连续，当a ? 0时，
x?0x?0limg(x)?g(0)，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性
与a的取值有关，故选(D).
【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则
(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
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(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，
考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.
【详解】设0 < ? < 1，当x ? (?? , 0) ? (0 , ?)时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)
的极小值点. 显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ? (?? , 0)时，f (x) = ?x(1 ? x)，f??(x)?2?0， 当x ? (0 , ?)时，f (x) = x(1 ? x)，f??(x)??2?0，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. 故选(C).
【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：
(1) 若
n?1?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.
n?1???? (2) 若
n?1?un收敛，则?un?1000收敛.
n?1
?un?1(3) 若lim?1，则?un发散.
n??unn?1 (4) 若
n?1?(un?vn)收敛，则?un，?vn都收敛.
n?1n?1???则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令un?(?1)，显然，
n [ B ]
n?1?un分散，而?(u2n?1?u2n)收敛.
n?1??(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.
?un?1(3)是正确的，因为由lim?1可得到un不趋向于零(n ? ?)，所以?un发散.
n??unn?1??11(4)是错误的，如令un?,vn??，显然，?un，?vn都发散，而
nnn?1n?1n?1?(un?vn)收敛. 故选(B).
?【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.
(11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是
(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0.
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(D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.
[ D ]
【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则由介值定理，
至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0；
另外，f?(a)?lim使得
x?a?f(x)?f(a)?0，由极限的保号性，至少存在一点x0?(a,b)
x?af(x0)?f(a)?0，即f(x0)?f(a). 同理，至少存在一点x0?(a,b)
x0?a
使得f(x0)?f(b). 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).
【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有
(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a.
(C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ D ] 【分析】 利用矩阵A与B等价的充要条件: r(A)?r(B)立即可得.
【详解】因为当|A|?0时, r(A)?n, 又 A与B等价, 故r(B)?n, 即|B|?0, 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.
(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=n?r(A), 而且
r(A)?n,?n,?r(A*)??1,r(A)?n?1,
?0,r(A)?n?1.?根据已知条件A*?0, 于是r(A)等于n或n?1. 又Ax?b有互不相等的解, 即解不惟一, 故r(A)?n?1. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).
【评注】本题是对矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.
(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,
若P{|X|?x}?α, 则x等于 (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α. [ C ]
2【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.
【详解】 由P{|X|?x}?α, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
P{X?x}?1?α. 故正确答案为(C). 2文档
【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.
最新-考研数学三历年真题及答案(2003-2013年)
