全国高中数学联赛讲义 第七讲 解三角形含答案版

三、面积最值（余弦定理+完全平方+均值不等式）

1、已知

ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且a2?b2?c2?ab，若ABC的

32，则ABC面积的最大值为__________ 223外接圆半径为

222a?b?c12222cosC??思路：由a?b?c?ab可联想到余弦定理求cosC，所以，

2ab33从而sinC?22，所求面积可表示为S3ABC1?absinC，则只需解出ab的最大值即可。2由外接圆半径R?322及sinC可得：c?2RsinC?4，所以a2?b2?16?ab，而232ab?2ab?ab?12，所以S3a2?b2?2ab，所以有16?答案：42

2、（12年联赛真题）

ABC?122?12??42 23在?ABC中，若AB?AC?7,AB?AC?6,则?ABC面积的最大值为 ◆答案：12

★解析：记BC的中点为M，则AM?221AB?AC, 2??因为AB?AC?AB?AC?4AB?AC?64，所以AB?AC?8，从而AM?4 所以S?ABC?1 ?BC?AM?12（当且仅当AM?BC，即AC?AB?5时，取等号）

2故所求面积最大值为12。

另法：由AB?AC?7得bccosA?7，由AB?AC?6，平方可得b2?c2?50，

所以S?ABC?11221?b?c2?bcsinA?bc??bccosA??222??222????49?12（当且仅当?2b?c?5时，等号成立），所以所求面积最大值为12。