第七讲 解三角形
一、正弦定理 ① 直接换
② 互补角：正弦等，余弦反等，正切反等。
1、（17年联赛真题）
4、在?ABC中，若sinA?2sinC，且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为 ◆答案：?2 4asinA??2，又b2?ac，于是a:b:c?2:2:1，从而由余弦csinC★解析：由正弦定理知，
b2?c2?a2(2)2?12?222定理得：cosA?. ???2bc42?2?1
2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC．2a?b?2c，则sinC=
【答案】（1）A?60?；（2）sinC?6?2. 4【解析】（1）由已知得sin2B?sin2C?sin2A?sinBsinC，故由正弦定理得
b2?c2?a2?bc．
b2?c2?a21由余弦定理得cosA??．
2bc2因为0??A?180?，所以A?60?．
（2）由（1）知B?120??C，由题设及正弦定理得2sinA?sin120?C?2sinC，
???即
6312．
?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????2222由于0??C?120?，所以sinC?60????2，故 2sinC?sin?C?60??60??
?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60?
?
3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a?16?2． 43sinAcosC?(3sinC?b)cosA?0，则角A?
【解析】∵a?1，3sinAcosC?(3sinC?b)cosA?0， ∴3sinAcosC?3sinCcosA??bcosA， ∴3sin(A?C)?3sinB??bcosA， ∴3asinB??bcosA，
由正弦定理可得：3sinAsinB??sinBcosA， ∵sinB?0，∴3sinA??cosA，即tanA??∵A?(0,π)，∴A?
4、（13年联赛真题）
在?ABC中，已知sinA?10sinB?sinC，cosA?10cosB?cosC，则tanA的值为 ◆答案：11
★解析：由于sinA?cosA?10?sinBsinC?cosBcosC???10cos?B?C??10cosA，即tanA?11
3， 35π. 65、在锐角
ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2bcosC?2a?c
（1）求角B
（2）求sinAsinC的取值范围
a2?b2?c2?2a?c 解：（1）方法一：使用余弦定理2bcosC?2a?c?2b?2ab?b2?c2?a2??ac?b2?a2?c2?ac
由余弦定理得：b2?a2?c2?2accosB ?cosB?方法二：观察等式a,b,c齐次，考虑使用正弦定理
1??B? 232bcosC?2a?c?2sinBcosC?2sinA?sinC
?2sinBcosC?2sin?B?C??sinC?sinC?2sinCcosB
1??B? 232?2?（2）A?C??C??A
33?cosB??3?131?2???sinAsin??A??sinA?cosA?sinA??sinAcosA?sin2A
22?3??2?2
?31?cos2A1???1sin2A??sin?2A??? 442?6?4??0?A????????2??A? ABC为锐角三角形 ?A,B,C??0,? ??62?2??0?2??A???32??2A?
???5???,6?66???1????13??sin2A??,1?sinAsinC? ?????,? ?6??2????24?6、在
ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ac?
3cosAsinC（1）求A的大小
（2）若a?6，求b?c的取值范围 解：（1）由条件
ac?可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”
3cosAsinCacsinAsinC????1 ?tanA?3
3cosAsinC3cosAsinC?A??3
（2）思路：考虑在
ABC中，已经已知A, a，从而可求出外接圆半径R，进而B,C与b,c也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用A?60 这个条件，考虑利用角来解决 解：
bca???43 sinBsinCsinA?b?43sinB, c?43sinC A??3 ?B?C?2?2??C??B 33??2????b?c?43?sinB?sinC??43?sinB?sin??B??
?3??????3?311???cosB?sinB??12?sinB?cosB??12sin?B?? ?43?sinB?2226?????2?0?B????5?2? ?B???,6?663???1???,sinB??????,1?
6??2????b?c??6,12?
二、余弦定理
1、（13年联赛真题）
已知锐角三角形的三条边长都是整数，其中两条边长分别为3和4，则第三条边的边长为 ． ◆答案：3或4
★解析：设第三条边长为c。因为是锐角三角形，所以c2?43?33?22，且
c2?32?42?52，即2?c?5，因为c是整数，得c?3或4
bc? 1?，则角A的范围是 a?ca?bbc思路：从所给条件入手，进行不等式化简：??1
a?ca?b2、△ABC各角的对应边分别为a,b,c，满足
观察到余弦定理公式特征，进?b?a?b??c?a?c???a?c??a?b??b2?c2?a2?bc，
b2?c2?a21?，可解得：而利用余弦定理表示cosA：b?c?a?bc?cosA?2bc2222???A??0,?
?3?答案：A
3、（12年联赛真题）
设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足acosB?bcosA?取值为 ◆答案：4
3tanA
则的c，5tanB
c2?a2?b2b2?c2?a33?b??c,即a2?b2?c2， ★解析：由题设及余弦定理得a?2ca2bc55a2?c2?b282a?c222tanAsinAcosBc?a?b2ac5故???2??4 222222b?c?atanBsinBcosAb?c?ac2b?52bc
4、（19年福建预赛）
全国高中数学联赛讲义 第七讲 解三角形含答案版
