立体几何中的外接内切球
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立体几何中的外接内切球
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。考查学生的空间想象能力及归纳能力。研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识，又要运用球的知识。并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作业。本专题主要讨论补形法和轴截面法。
补形法：情况一：若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为
a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为R，则有2R?a2?b2?c2． 情况二：若出现对边相等,一般也是构造长方体，再利用2R?a2?b2?c2。此类题重点要找出a,b,c三边。
例1：已知点Ａ、B、Ｃ、D在同一个球面上，
AB?平面BCD,BC?DC,若AB?6,AC?213,AD?8,则外接球的体积是＿＿
____ 。
解析：如图，易得
BC?(213)2?62?4,BD?82?62?27,∴CD?12，则此球内接长方体三条棱长为AB、BC、CＤ（CＤ的对边与ＣD等长）,从而球外接圆的直径为2R?62?42?(12)2?8,即R?4. 例2.如图,已知球Ｏ点面上四点A、B、Ｃ、Ｄ,ＤA?平面ABC，ＡB?BＣ，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于_＿_＿_______。
解析:本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出球心，从而
确定球的半径。由题意，三角形DAC，三角形DBＣ都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到D、A、Ｃ、B四点距离相等)，所以球的半径就是线段DC长度的一半。
CDAB
例3.在正三棱锥S?ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN?AM,
若侧棱SA?23,则正三棱锥S?ABC外接球的表面积是（ ） A．12??B．32? C．36??Ｄ．48?
解析:正三棱锥对棱互相垂直,即AC?SB,又SB∥ＭN,且MN?AM, ∴
SB?AM,从而SB?面SAC． ∴?BSA?90?，以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体,故球的直径2R?3?SA,即R?3，∴S?4?R2?36?。 例4.在四面体ABCD中,AB?CD?6,AC?BD?4,AD?BC?5,则四面体
ABCD的外接球的表面积为＿＿＿______＿＿_____.
【答案】解析：构造一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、5、
776,设长方体的三条边分别为x,y,z,则x2?y2?z2?,而长方体的外接
277球就是四面体的外接球,所以S?4?R2??.
2
练习题：
1.一个三棱锥P-AＢＣ的三条侧棱PA、PB、PＣ两两互相垂直，且长度分别为1、
6、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为( ）
A、１6π B、３2π Ｃ、36π D、64π 答案：A
2.在三棱锥Ａ-BCＤ中，侧棱AＢ、AC、AD两两垂直，△ABC、△AＣD、△ADB的
236、、222,则三棱锥A－BCＤ的外接球的体积为（ ) 面积分别为
3.三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，如果此三棱锥外接球的表面积为9π，
那么PA?PB+PＡ?PＣ+ＰB?PC的最大值为( )
99A.4 B．2 Ｃ.9 D.18
轴截面法：
我们选择最佳角度找出含有找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面面圆，于是该圆的半径就是所求的半径，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究。这种等价转化的思想是我们应该研究的重点。
例１．已知四面体正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为＼r(2)，点S、
A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为＿.
[审题导引］ 如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线ＳＥ上找到一个点O使得OA=OS,则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上.
［规范解答］ 如图所示，在Ｒt△SＥA中,SＡ=
错误!,ＡE＝1，故SE=1.
设球的半径为ｒ，则OA＝ＯS＝r，OＥ＝１-r.在Rｔ△OＡE中，r2＝（1－r)2+1,解得ｒ＝1,即点Ｏ即为球心,故这个球的体积是
错误!．
例2．已知四面体ABCD在同一球面上,且AB?BC?2,AC?2,当四面体
2ABCD的体积最大时且为，求球的表面积( )
3解析：∵AB?BC?2,AC?2，∴?ABC是直角三角形, ∴ ?ABC的外接圆的圆心是边AC的中点O1，如图所示，若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又OO1?平面ABC,所以点D是直线OO1与球的交点 ,设球的半径为R,则由体积公式有:O1D?2 ，在Rt?AOO1中,R2?1?(2?R)2,解得：R?525? S球O的表面积?,故选Ｃ 441．已知球Ｏ点面上四点A、B、C、Ｄ,DA?平面ABC，AB?BC,DＡ=AB=BＣ=3,则球O的体积等于＿_____＿＿___
2．已知四棱锥V-ABCＤ的顶点都在同一球面上,底面ABCD为矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ＡBCD,AＢ=3,AＤ＝3,VＧ＝3，则该球的体积为( ）A.36? B.9? C.123? D.43? 内切圆：等体积法
例１.设棱锥M?ABCD的底面是正方形,且MA?MD，MA?AB，如果?AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解: ?AB?AD,AB?MA,?AB?平面MAD，
立体几何中的外接内切球
