故其运动方程为
2Lmv0 xm?2B2l2（11）
x?v0LmLm?Bl2?sin?t?， t从0到π
BlBl2Lm??2（12）
半个周期后，线框退出磁场区，将以速度v0向左匀速运动．因为在这种情况下xm的最大值是l1，即
2121B2l2mv0?l12 22L（13）
由此可知，发生第（i）种情况时，v0的值要满足下式
2?2121?B2l2mv0???l1 22?L?
即
mL (ii) 若线框的初速度v0比较大，整个线框能全部进入磁场区．当线框刚进入磁场区时，其速度仍大于0，
v0?Bl1l2 （14）
这要求v0满足下式
v0?Bl2l1mL （15）
当线框的初速度满足（15）式时，线框能全部进入磁场区，在全部进入磁场区域以前，线框的运动方程与（12）式相同，但位移区间是x?0到x?l1，所以时间间隔与（12）式不同，而是从0到
Bl1l2?Lm??arcsin? t1?2Bl2?Lmv0???（16）
因为线框的总电动势总是为0，所以一旦线框全部进入磁场区域，线框的两条边都切割磁感应线，所产生的电动势之和为 0，因而自感电动势也为0．此后线框中维持有最大的电流im??边的安培力的合力等于零，线框将在磁场区域匀速前进，运动的速度可由下式决定
即
五、参考解答：
2B2l12l2v?v? Lm20Bl2l1，磁场对线框两条L212121B2l2mv0?mv?l12 222L（17）
16
解法一：
1.由于等离子层的厚度远小于地球的半径，故在所考察的等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度
3.0?10?R?T?2.4?10-7T B??0?B0?125?r?引力加速度
3?5（1）
9.8?R?g??0?g0?m/s2?0.39m/s2
25?r?考察等离子层中的某一质量为m、电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz.因作用于粒子的引力沿x轴正方向，作用于粒子的洛伦兹力与z轴垂直，故粒子在z轴方向不受力作用，沿z轴的分速度保持不变. 现设想在开始时刻，附加给粒子一沿y轴正方向大小为v0的速度，同时附加给粒子一沿y轴负方向大小为v0的速度，要求与其中一个v0相联系的洛伦兹力正好与粒子所受的地球引力相平衡，即 得
qv0B?mg
x
ux 图1 2（2）
z uz v0 O uy v0 uy?v0 v y
v0?mg qB（3）
用v表示ux与沿y轴的速度uy?v0的合速度（对质子取正号，对电子取负号），有
2?uy?v0 v?ux??2 （4）
这样，所考察的粒子的速度可分为三部分：
沿z轴的分速度uz．其大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．
沿y轴的速度v0．对带正电的粒子，速度的方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，速度的方向沿y轴的正方向．与这速度联系的洛伦兹力正好和引力抵消，故粒子将以速率v0沿y轴运动．由（3）式可知，v0的大小是恒定的，与粒子的初速度无关，且对同种的粒子相同．
在Oxy平面内的速度v．与这速度联系的洛伦兹力使粒子在Oxy平面内作速率为v的匀速率圆周运动，若以R表示圆周的半径，则有
得
v2qvB?m
R 17
R?mv qB（5）
由（4）、（5）式可知，轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．
由此可见，等离子层内电子和质子的运动虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（3）式给出的速度v0，其方向垂直于粒子所在处的地球引力方向，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流．
由（3）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为
v0e?9.2?10?6m/s
（6）
v0p?1.7?10?2m/s （7）
由于电子、质子漂移速度的方向相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有
代入有关数据得
电流密度的方向沿纬度向东.
2．上一小题的讨论表明，粒子在Oxy平面内作圆周运动，运动的速率由（4）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为
22 v?ux?v0j?nq?v0p?v0e?
（8）
j?2.8?10?14A/m2
（9）
（10）
由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入题给的有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为
Re?0.33m Rp?14.8m
（11） （12）
以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为2Re?0.66m和2Rp?29.6m，都远小于等离子层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上.
解法二：.
1.由于等离子层的厚度远小于地球半径，故在所考察等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度
3.0?10?R?B??0?B0?T?2.4?10??T （1）
125?r?3?5 18
引力加速度
9.8?R?2
g??0?r??g0?25m/s2?0.39m/s2
考察等离子层中的某一质量为m，电荷量为q、初速度为z u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图1所示.该粒子的初vz
速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz. 若以v
x、vy、
O vz表示粒子在任意时刻t的速度v在x方向、y方向和z方向
vx
的分速度，则带电粒子在引力和洛伦兹力的共同作用下的运动方程为 x
mdvxdt?mg?qv?mg?yB?qB??vy?qB?? （3）
mdvydt??qvxB （4）
mdvzdt?0 （5）式表明，所考察粒子的速度在z轴上的分量保持不变，即
vz?uz
作变量代换，令 Vx?vx Vy?vy?v0 其中
v0?mgqB 把（7）、（8）式代入（3）、（4）式得
mdVxdt?qBVy
（9）
mdVydt??qVxB
（10）
由（9）、(10) 两式可知，作用于粒子的力F在x和y方向的分量分别为 Fx?qBVy
Fy??qBVx
19
（2）
vy y
1
（5）
（6）
（7）
（8）
图
若用?1表示F的方向与x轴的夹角，?2表示V的方向与x轴的夹角，而V?Vx2?Vy2，则有
tan?1?FyFx??Vx Vy
tan?2?VyVx可见tan?1?tan?2??1，表明F的方向与V的方向垂直，粒子将在F的作用下在Oxy平面内作速率为V的匀速圆周运动．若以R表示圆周的半径，则有
V2 qVB?mRR?mV qB（11）
在匀速圆周运动中，V的大小是不变的，任何时刻V的值也就是t?0时刻V的值，由（7）式和已知条件在t?0时刻有 故有
2V?ux??uy?v0?
2Vx?uxVy?uy?v0
（12）
以上讨论表明，粒子的运动可分成三部分：
根据（6）式vz?uz，可知粒子沿z轴的分速度大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．
根据（7）式可得vx?Vx，vy?Vy?v0，表明粒子在Oxy平面内以速率V作圆周运动的同时，又以速度
v0沿y轴运动．Vx、Vy是圆周运动速度的x分量和y分量．圆周运动的轨道半径不仅与粒子的质量有关，而
且与粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．
沿y轴的速度v0由（8）式给出，其大小是恒定的，与粒子的初速度无关，同种粒子相同，但对带正电的粒子，其方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，其方向沿y轴的正方向．
由此可见，等离子层内电子和质子虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（8）式给出的速度v0，其方向垂直于粒子所在处的地球引力，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流．
由（8）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为
v0e?9.2?10?6m/s
（13）
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第24届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
