第 10 讲 对数与对数函数
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化为常用对数或自然对数;了解对数在 简化运算中的作用.
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2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象经过的特殊点,会画底数为2,10, 的对数函数的
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图象.
3.体会对数函数是一种重要的函数模型. 4.了解指数函数与对数函数互为反函数.
知识梳理
1.对数
(1)对数的定义:
如果 ab=N(a>0,且 a≠1),那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 数, N 叫做对数的真数.
(2)指数式与对数式的关系: ab=N logaN=b (a>0,a≠1,N>0).
(3)几个常用等式:
①loga1= 0 ;②logaa= 1 ;③alogaN= N . (4)对数运算性质:
如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)= logaM+logaN ;
M
②loga=logaM-logaN;
N
③logaMn= nlogaM .
logbN
(5)换底公式:logaN=
logba (a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0).
b=logaN ,其中 a 叫做对数的底
2.对数函数
(1)对数函数的定义
函数 y=logax(a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 (2)对数函数的图象
(0,+∞) .
(3)对数函数的性质:
①定义域: (0,+∞) ; ②值域: (-∞,+∞) ;
③图象过定点 (1,0) ,即 x= 1 时,y= 0 . ④当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数; 当 0 3.指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的关系 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)和对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为 =x 对称. 反函数 ,它们的图象关于直线 y 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab= 1 ; logba n logb.(2)logambn= m a 其中 a>0,且 a≠1,b>0,b≠1,m,n∈R . 1 .对数函数=,且≠与=2ylogax(a>0a1)ylogx的图象关于x轴对称. a 3.对数函数 y=logax 的底数 a>1 时,a 越大,增长越慢,图象在 x 轴上方越靠近 x 轴(x>1 时);01). 热身练习 1.已知 4a=2,lg x=a,则 x= 10 . 1 1 因为4a=2,所以a=log42=log44=, 22 1 1 又因为 lg x=a,所以 lg x= ,所以 x=10 = 10. 2 2 5 1 -1 2.(经典真题)lg 2lg 2-( = -1 . 2+ 2) 5 1 -1 lg2 +2lg 2-( =lg 5-lg 2+2lg 2-2 2) =(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1. 3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=(A) A.log2xB. 1 2x 1 C.log x D.2x-2 2 指数函数 y=ax 的反函数是 f(x)=logax, 又 f(2)=1,即 loga2=1,所以 a=2,故 f(x)=log2x. 4.当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y=a-x 与 y=logax 的图象大致是(A) 1,所以函数y=a-x单调递减,y=logx单调递增,故选A.因为a>1,所以0<1<a a 5.当 x∈(-1,0)时,f(x)=log2a(x+1)>0,则 a 的取值范围为(A) 1 1 1 A.(0, B.( , ) 2) 2 4 1 1 C.( ) D.( 1) 2,+∞ 2, 当-1
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第10讲 对数与对数函数 含答案
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