2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第10讲 对数与对数函数 含答案

第 10 讲 对数与对数函数

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化为常用对数或自然对数；了解对数在 简化运算中的作用．

1

2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点，会画底数为2,10， 的对数函数的

2

图象．

3．体会对数函数是一种重要的函数模型． 4．了解指数函数与对数函数互为反函数．

知识梳理

1．对数

(1)对数的定义：

如果 ab＝N(a>0，且 a≠1)，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 数， N 叫做对数的真数．

(2)指数式与对数式的关系： ab＝N logaN＝b (a>0，a≠1，N>0)．

(3)几个常用等式：

①loga1＝ 0 ；②logaa＝ 1 ；③alogaN＝ N . (4)对数运算性质：

如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN ；

M

②loga＝logaM－logaN；

N

③logaMn＝ nlogaM .

logbN

(5)换底公式：logaN＝

logba (a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)．

b＝logaN ，其中 a 叫做对数的底

2．对数函数

(1)对数函数的定义

函数 y＝logax(a>0，且 a≠1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (2)对数函数的图象

(0，＋∞) .

(3)对数函数的性质：

①定义域： (0，＋∞) ； ②值域： (－∞，＋∞) ；

③图象过定点 (1,0) ，即 x＝ 1 时，y＝ 0 . ④当 a>1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数； 当 0

3．指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的关系

指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)和对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)互为 ＝x 对称．

反函数 ，它们的图象关于直线 y

1．换底公式的两个重要结论

(1)logab＝ 1 ；

logba

n logb.(2)logambn＝

m a

其中 a>0，且 a≠1，b>0，b≠1，m，n∈R .

1

．对数函数＝，且≠与＝2ylogax(a>0a1)ylogx的图象关于x轴对称．

a

3．对数函数 y＝logax 的底数 a>1 时，a 越大，增长越慢，图象在 x 轴上方越靠近 x 轴(x>1 时)；01)．

热身练习

1．已知 4a＝2，lg x＝a，则 x＝

10 .

1 1

因为4a＝2，所以a＝log42＝log44＝，

22

1 1

又因为 lg x＝a，所以 lg x＝ ，所以 x＝10 ＝ 10.

2 2 5 1 －1

2．(经典真题)lg 2lg 2－( ＝ －1 .

2＋ 2)

5 1 －1

lg2 ＋2lg 2－( ＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2

2)

＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.

3．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)＝(A)

A．log2xB.

1 2x

1

C．log x D．2x－2

2

指数函数 y＝ax 的反函数是 f(x)＝logax，

又 f(2)＝1，即 loga2＝1，所以 a＝2，故 f(x)＝log2x.

4．当 a＞1 时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象大致是(A)

1，所以函数y＝a－x单调递减，y＝logx单调递增，故选A.因为a＞1，所以0＜1＜a a

5．当 x∈(－1,0)时，f(x)＝log2a(x＋1)>0，则 a 的取值范围为(A)

1 1 1

A．(0， B．( ， )

2) 2 4 1 1

C．( ) D．( 1)

2，＋∞ 2，

当－10，知 0<2a<1， 1

所以 0

2

1 17 3天津卷已知＝，＝，＝(2018· )b c log ，则 a，b，c 的大小关系为( alog3 2 1 5

3

比较大小

1

( )4

)

A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b

7 因为 c＝ log 1 ＝log35，a＝log3 ， 2 1 5

3

又 y＝log3x 在(0，＋∞)上是增函数，

7

所以log35>log3>log33＝1，所以c>a>1.

2

1x

因为 y＝ 在(－∞，＋∞)上是减函数，

4

1所以 ( )

4

1

1

3 < 0＝1，即 b<1.所以 c>a>b.

4

D

对数函数值大小比较一般有三种方法：

①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不是同底，先化为同底；

②“中间量”法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”； ③图象法，根据图象观察得出大小关系．

1．(经典真题)设 a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(D) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b

a＝log32log22＝1，

由对数函数的图象和性质可知，log52