2024届山东省济南市高三上学期期末考试
数学（理）试题
一、单选题 1．已知集合A．
B．
， C．
，则 D．
( ) ( )
2．已知复数满足A．
B．
C．
（其中为虚数单位），则
D．
的解集为
3．已知命题关于的不等式极值.下列命题为真命题的是( )
；命题函数有
A． B． C． D．
4．如图，在的扇形构成，向
中，，，，三角形内的空白部分由三个半径均为1
内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )
A． B．
C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．5 B． C．6 D．8
6．若将函数说法正确的是( )
的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减
C．图像的一条对称轴为 D．图像的一个对称中心为
7．函数的图象大致为( )
A． B． C． D．
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面
为平面（与两个圆锥面的交线为
，
），用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于
，
，则双曲线的离心率为( )
A．
B．
C．
D．2
9．已知，且，，，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
，
，
10．执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为
，其中
A．
B．
，则输出的为( )
C．
D．
11．过抛物线物线的准线于点，若
的焦点作直线，交抛物线于点，，交抛，则直线的斜率为( )
A． B． C． D．
12．已知函数，若对任意恒成立，其中
，不等式
，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题 13．
的展开式中常数项为__________．（用数字作答）
，，故该展开式中的常数项为，故答案为．
14．若实数，满足约束条件则的最大值为__________．
15．我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光.已知某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52米.若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼
楼顶的仰角与楼底的俯角之和为，则该小区的住宅楼楼间距实际为__________ 米．
16．已知球的半径为3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为，内接正四棱锥的体积最大
值为，则的值为__________．
三、解答题 17．已知数列（1）求数列
是递增的等差数列，满足的通项公式；
，是和的等比中项.
（2）设
，求数列的前项和.
18．如图，在四棱锥交
于点，为
平面
中，底面
的重心. ；
上，且
为正方形，平面，为的中点，
（1）求证：（2）若
，点在线段的余弦值.
，求二面角
19．某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性
能不满意”的客户中恰有选择了退货.
（1）请完成下面的能满意之间有关”. 购买产品 不购买产品 合计
列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性
对性能满意 对性能不满意 合计 （2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中购买产品的客户人均所得奖金为元，求的分布列和数学期望.
附：
0.150 2.072 ，其中0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 20．已知椭圆
（1）求椭圆的方程；
过点，左焦点为.
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