函数与导数专题复习导航
一、考纲与考向
函数与导数是高中数学最重要的知识板块，又是考查数学思想方法，如函数方程、数形结合、分类讨论等的理想素材，因而是高考数学命题中份量最重的一部分内容.高考对函数问题的考查常设置两个客观题，一个解答题，分值在22分左右，约占总分的14%，其考查特点一是以基本初等函数或抽象函数为载体，全面考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、有界性，以及函数图象变换等基础知识；二是以基本初等函数为载体，在方程、不等式、数学建模与导数、代数推理等交汇处设置解答题，考查函数五大性质的应用、不等式问题和函数方程思想、数形结合思想等综合问题.
高考导数试题的考查特点一是设置客观题，主要考查导数概念、性质、几何意义等基础知识；二是以函数知识为载体设置解答题，主要考查导数的单调性、极值、几何意义和物理意义等主干知识的应用；三是在导数与三角函数、向量、不等式、解析几何、数学建模等知识的交汇处设置试题，主要考查导数的工具性作用、同学们的综合解题能力和数学应用意识、高考导数试题的分值约为17分左右、约占总分11%的左右.
二、知识与方法
1.函数的重点知识有：(1)函数解析式的求法和分段函数的求法；(2)函数的五大性质，特别是函数的对称性、周期性、复合函数的单调性、函数图象变换等性质的应用；(3)指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质及其应用；(4)函数、导数、数学建模与代数推理等交汇问题.
导数的重点知识有：(1)客观题考查导数概念、性质、几何意义、物理意义等基础知识；(2)解答题考查导数在函数的单调性、极值等性质中的应用以及导数工具在代数、几何与数学建模等综合问题中的应用.
2.复习函数时，应立足考纲和基础，搞好以函数概念、性质及其应用为主线的复习.一是夯实基础，知识与能力并重：没有基础就谈不到能力，复习要真正地回到重视基础的轨道上来.要认真分析、处理各种关系，加深对函数基础知识系统的整体把握，深入理解有关概念，正确运用有关性质，抓住函数的本质特征，掌握求函数表达式、定义域、值域、最值、单调区间的方法.二是加强对数学思想方法的掌握和运用：对于函数与方程的综合问题，关键是正确运用等价转化思想；对于函数与不等式的综合问题，要主要用运动变化的观点去观察、分析问题，函数方程思想、分类讨论思想和数形结合思想是解决这类问题的关键；对于函数与其他知识的综合问题一般难度较大，应综合运用多种数学思想方法解决.三要注意几点：①在研究函数综合问题时，应首先考虑函数的定义域，并始终考虑变量的范围；②解决含参数的函数综合问题时，常需要应用函数知识对参数进行讨论；③对函数问题进行转化求解时，应保证等价转化.
复习导数，一要夯实基础知识，准确理解导数定义、性质、几何意义、物理意义，牢固掌握“和、差、积、商的导数公式和复合函数的求导法则”；二会运用导数知识解决函数单调性、极值和数学建模问题；三是构造函数，运用导数和函数的单调性质，解决代数式大小比较、不等式证明、参数取值范围等问题.
三、交汇与应用 1.与向量交汇
例1.已知向量=(x，x+1) ，=(1-x，t) ，若函数f(x)=· 在区间(-1，1)上是增函数，求t的取值范围.
分析：根据已知条件先确定函数f(x)的解析式，再利用导数与函数的单调性之间的关系进行求解。
解：因为f(x)=·=(，x+1) · (1-x，t)=-x+x+tx+t ，所以f′(x)=-3x+2x+t 。 若函数f(x)在(-1，1)上是增函数，则当x∈(-1，1)时，-3x+2x+t≥0 ，
2
得t≥3x-2x在区间(-1，1)上恒成立。
又g(x)=3x-2x 是对称轴为x= ，且开口方向向上的抛物线，
2
2
3
2
2
2
故要使t≥3x-2x在区间(-1，1)上恒成立，则需t≥g(-1) ，即t≥5. 故所求的t的取值范围是[5，+∞).
点评：本题考查了导数的应用、向量数量积的坐标运算与及二次函数等知识，在知识的交汇点处设计命题的思路和风格非常明显.
2.导数与数列的综合
123
例2 已知数列{an}中，a1＝t(t＞0)，a2＝t．当x＝t时，函数f(x)＝(an1－an)x－(an－an+1)x，(n
3≥2)取得极值．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式． 分析：首先利用导函数，结合f求{an}的通项公式.
2
2
(t)＝0，确定数列{an}的递推关系，然后利用解决递推数列的方法
解：f(x)＝ (an1－an)x－(an－an+1)，则f(t)＝(an1－an)t－(an－an+1)=0,得an+1－an＝t(an－an1),
2
(n≥2)，所以{an+1－an}是首项为t－t，公比为t的等比数列，
2n1n+1n
当t≠1时，an+1－an＝(t－t)t ＝t －t ，
2
而a2－a1＝t －t，
32
a3－a2＝t －t，
43
a4－a3＝t －t， …
nn1
an－an1＝t －t ，
nn
各式相加，得an－a1＝t －t，而a1＝t，所以an＝t ．
n
当t＝1时，适合上式，故an＝t (t＞0)． 3.应用性问题
例3.家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措.某家电制造集团为尽快现实家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预期运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ）
Q Q Q Q Q0 Q0 Q0 Q0
O T t O T t O T t O T t A. B. C. D.
分析：由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B满足条件，故选B.
点评：本题的题干背景与时俱进，来自于具有时代气息现实生活情形 家电下乡，属给出模型（函数图象）的一类问题.要求同学们通过结合图象分析出函数关系，找出规律，从而解决问题.
四、考题与变式
考点1.函数基本关系问题
例1.(2010·天津)设函数f(x)=，若f(a)>f(-a)，则实数a的取值范围是（ ） A.(-1，0)∪(0，1) B.(-∞，-1)∪(1，+∞) C.(-1，0)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(0，1)
解：由题意可得或，解得a>1，或-1 点评：本题考查分段函数的基本知识，考查对数不等式的解法和分类讨论思想的运用. 变式练习： 1.已知f(x)=且方程f(x)=x恰有两个实根，则实数a的取值范围是（ ） A.(-2，3] B.(-2，+∞) C.(-3，2] D.[2，+∞) 考点2.函数的基本性质 例2.(2010·安徽)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)=（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 解：由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)，又f(x)为R上的奇函数，所以f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.故选A. 点评：本题考查了函数的性质，利用函数的奇偶性和周期性求函数值，关键是将所求的值利用函数的性质进行转化，从而将问题解决. 变式练习： 2.已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0，1]上是减函数，则f(-0.5)、f(-1)、f(0)的大小关系是（ ） A.f(-0.5)＜f(0)＜f(-1) B.f(-1)＜f(-0.5)＜f(0) C.f(0)＜f(-0.5)＜f(-1) D.f(-1)＜f(0)＜f(-0.5) 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)=-f(3-x)，f(1)≥1，f(2)=值为（ ） ，则y=-m-2m+的最小 2 A.-1 B. 0 C. D. 考点3.函数图象及图象变换问题 例3.(2010·湖南)用min{a，b}表示两数a，b中的最小值.若函数f(x)=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-对称，则t的值为( ) A.10 B.11 C.12 D.15 解：由图象关于直线x=-对称，得|-|=|-+t|，解得t=0，或t=1. 当t=0时，f(x)=|x|，不符合题意，故t=1.选D. 点评：本题主要通过引入新符号构造函数的方式，考查分段函数的图象及性质，数形结合的思想与方法及验证法解选择题的方法技巧. 变式练习： 4.若函数y=f(x+2)-2为奇函数，且函数y=f(x)的图象关于点M（a，b）对称，则a+b=（ ） A.2 B.4 C.8 D. 16 x-x 5.若函数f(x)=ka-a(a>0，且a≠1)在(-∞，+∞)上既是奇函数又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是（ ） y y y y O 1 2 x O 1 2 x -1 O 2 x -1 O 2 x
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