3．1.2 空间向量的基本定理
学 习 目 标 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法. 2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 1.通过共线、共面向量基本定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理素养. 2.借助空间向量分解定理及任一空间向量可用一组基向量线性表示提升数学运算素养. 核 心 素 养
1．共线向量定理与共面向量定理 (1)共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb. (2)向量共面的条件
①向量a平行于平面α的定义
→
已知向量a，作OA＝a，如果a的基线OA平行于平面α或在α内，则就说向量a平行于平面α，记作a∥α.
②共面向量的定义
平行于同一平面的向量，叫做共面向量． ③共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
2．空间向量分解定理 (1)空间向量分解定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，
y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
(2)基底
如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表达式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．
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1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( ) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量 [答案] A
2．给出的下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb； ②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. 其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3 B [只有②为真命题．]
3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，
z满足的条件是________．
yzx＝y＝z＝0 [若x≠0，则a＝－b＋c，即a与b，c共面．
xx由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.]
向量共线问题 【例1】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，→2
且A1E＝2ED1，F在对角线A1C上，且A1F＝FC.求证：E，F，B三点共
3线．
→→→
[证明] 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. →2
∵A1E＝2ED1，A1F＝FC，
3→→→22
∴A1E＝A1D1，A1F＝A1C.
35→→
→
→
→
→
→
- 2 -
→→→→222
∴A1E＝AD＝b，A1F＝(AC－AA1)
335→→→2
＝(AB＋AD－AA1) 5222＝a＋b－c. 555
→→→
2422?2?∴EF＝A1F－A1E＝a－b－c＝?a－b－c?. 51555?3?→→→→
22
又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－b－c＋a＝a－b－c，
33→→
2
∴EF＝EB.
5
∴E，F，B三点共线．
判定两向量共线就是寻找x使a＝xb(b≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运
算法则化简出a＝xb，从而得a∥b.
1．如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的→→→→
22
中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CF＝CB，CG＝CD.利用向量
33法求证四边形EFGH是梯形．
[证明] ∵E、H分别是边AB、AD的中点， →→→→
11
∴AE＝AB，AH＝AD，
22
→→→→→→→→→→→→→
111111?3→3→?33
EH＝AH－AE＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD＝(CD－CB)＝?CG－CF?＝(CG－CF)＝FG，
222222?242?4→→→→→
3
∴EH∥FG且|EH|＝|FG|≠|FG|，又F不在EH上，
4∴四边形EFGH是梯形.
→
→→→
试证：EF与BC、AD共面．
共面向量定理及应用 【例2】 对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点． - 3 -
2024_2024学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学案新人教B版选修2_1
