二次函数的图象与性质
易错清单
1. 二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.
【例1】 (2014·山东烟台)二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
2
① 4a+b=0;② 9a+c>3b;③ 8a+7b+2c>0;④ 当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( ).
A. 1个 C. 3个
B. 2个 D. 4个
【解析】 根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小. 【答案】 ∵ 抛物线的对称轴为直线x=2,
∴ b=-4a,即4a+b=0,所以①正确. ∵ 当x=-3时,y<0,
∴ 9a-3b+c<0,即9a+c<3b.所以②错误. ∵ 抛物线与x轴的一个交点为(-1,0), ∴ a-b+c=0.
而b=-4a,∴ a+4a+c=0,即c=-5a.
∴ 8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a. ∵ 抛物线开口向下, ∴ a<0.
∴ 8a+7b+2c>0.所以③正确. ∵ 对称轴为直线x=2,
∴ 当-1
【误区纠错】 本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y2
轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由Δ决定,Δ=b-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 2. 二次函数和最值问题
【例2】 (2014·浙江舟山)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)+m+1有最大值4,则实数m的值为( ).
2
2
2
2
2
【解析】 二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可. 【答案】 二次函数的对称轴为直线x=m,
①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,
此时-(-2-m)+m+1=4,解得m=-,与m<-2矛盾,故m值不存在.
2
2
②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,
此时,m+1=4,
2
【误区纠错】 本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.
名师点拨
1. 掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数. 2. 能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式. 3. 会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.
4. 能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点坐标等.
提分策略
1. 二次函数的图象与性质的应用.
(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①配方法;②顶点公式法,顶点坐标为. (2)画抛物线y=ax+bx+c的草图,要确定五个方面,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交点;⑤与x轴交点.
【例1】 (1)用配方法把二次函数y=x-4x+3变成y=(x-h)+k的形式; (2)在直角坐标系中画出y=x-4x+3的图象;
2
2
2
2
(3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x-4x+3图象上的两点,且x1< x2<1,请比较y1、y2的大小关系(直接写结果);
(4)把方程x-4x+3=2的根在函数y=x-4x+3的图象上表示出来. 【解析】 (1)根据配方法的步骤进行计算.
(2)由(1)得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表,注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标,不要弄错.
(3)开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大而减小.
(4)抛物线y=x-4x+3与直线y=2的交点的横坐标即为方程x-4x+3=2的两根. 【答案】 (1)y=x-4x+3=(x-4x+4)+3-4=(x-2)-1.
(2)由(1)知图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),列表如下:
2
2
2
2
2
2
2
2
x y
描点作图如图.
(3)y1>y2.
… …
0 3
1 0
2 3 0
4 3
… …
-1
(4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x-4x+3=2的根.
2
2. 二次函数的解析式的求法. 二次函数的关系式有三种: (1)一般式y=ax+bx+c;
(2)顶点式y=a(x-m)+n,其中(m,n)为顶点坐标;
(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.
【例2】 已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式. 【解析】 根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.
2
2
3. 二次函数的图象特征与系数的关系的应用.
二次函数y=ax+bx+c=0(a≠0)系数的符号与抛物线二次函数y=ax+bx+c=0(a≠0)的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所在象限由
的符号确定.
【例3】 (2014·天津)已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:
2
2
2
2
①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.
其中,正确结论的个数是( ).
A. 0 C. 2
B. 1 D. 3
2
【解析】 由图象可知二次函数y=ax+bx+c与x轴有两个交点,进而判断①;
先根据抛物线的开口向下可知a<0,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据对称轴在
y轴右侧得出b与0的关系,然后根据有理数乘法法则判断②;
一元二次方程ax+bx+c-m=0没有实数根,则可转化为ax+bx+c=m,即可以理解为y=ax+bx+c和y=m没有交点,即可求出m的取值范围,判断③即可. 【答案】 ①∵ 二次函数y=ax+bx+c与x轴有两个交点,
2
2
2
2
∴ b2-4ac>0,故①正确. ②∵ 抛物线的开口向下, ∴ a<0.
∵ 抛物线与y轴交于正半轴, ∴ c>0. ∵ 对称轴∴ ab<0. ∵ a<0, ∴ b>0.
∴ abc<0,故②正确.
③∵ 一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根, ∴ y=ax2+bx+c和y=m没有交点.
由图可得,m>2,故③正确. 故选D.
,
4. 二次函数的图象的平移规律的应用.
(1)采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决. (2)平移的变化规律可为:
①上、下平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k+m;当抛物线y=a(x-h)2+k向下平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k-m.
②左、右平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k向右平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h-n)2+k.
【例4】 (2014·甘肃兰州)把抛物线y=-2x先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为( ). A. y=-2(x+1)+2 C. y=-2(x-1)+2
22
2
B. y=-2(x+1)-2 D. y=-2(x-1)-2
2
2
【解析】 根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.” 【答案】 把抛物线y=-2x先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)+2,故选C.
专项训练
2
2
2024年中考数学重点题型突破易错点：3-3-1《二次函数的图象与性质》试题及答案-最新推荐
