人教A版 高中数学必修4 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学设计
师：这样我们就用有向线段的长度表示向量的长度，用有向线段的方向表示
向量的方向，那我们就可以用有向线段表示向量了.
师：AB表示向量的方向是由A指向B的，那向量的大小又该如何用字母来 表示呢？
师：如图1，在数轴上A点表示实数a，那A点到原点的距离该如何表示呢？ 生：|a|.
师：也就是在实数a的两边画两条平行、等长的竖线段（在实数中称为绝对 值）来表示A点到原点的距离.
师：类似地，在AB两边画两条平行、等长的竖线段，来表示向量AB的大小， 也就是向量AB的长度（或称模），记作|AB|.
师：这里需要强调，书上的向量用的是印刷体的黑体字母a表示向量，没有 箭头. 但是我们书写的字母不是印刷体，在表示向量时，必须打上箭头. 【问题3】 在你画的实数轴上，哪些实数比较特殊？
[设计意图] 挖掘结果背后的思维过程，引导学生把向量集合与实数集类比.通过0,1这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念.
[教学片段]
师：现在我们已经建立起了一个向量的集合，就像实数可以构成实数集一样. 如图1，在实数轴上有两个特殊的实数，请问是哪两个？ 生：0,1.
师：类似地，在向量的集合中有两个向量很特殊，一个是长度为零的向量， 叫做零向量，一个是长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. （板书：长度为零的向量，叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向 量叫做单位向量.）
师：向量是既有大小,又有方向的量.研究向量需要将代数形式和几何形式相 结合.对实数的研究经验告诉我们，引进一个新的数，就要研究它的运 算及运算律.可以预见，引进向量就要研究向量的运算及其相应的运算 律或运算法则.所以对于向量还有很多内容等待我们去研究.
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3. 探究实例 引出关系
【探究互动】在坐标纸中画出如图3所示的向量.
(1) 图中哪些向量是单位向量？
(2) AB,CD,EF三个向量的方向有何关系？ (3) AB,CD在大小和方向上有何关系？
图3
[设计意图] ?巩固单位向量的概念；?该探究将平行向量、相等向量、共线向量的概念的形成过程串在了一起，并让学生参与这些概念的形成过程，使得概念成为在教师引导下，学生观察、归纳、概括之后的自然产物.
[教学片段]
师：坐标纸中哪些向量是单位向量？ 生：AB,CD,MN,GH. 师：为什么它们是单位向量？ 生：因为它们的模都等于1个单位. 师：单位向量和它们的方向有关系吗？ 生：没有.
师：坐标纸中哪些向量不是单位向量？ 生：EF.
师：刚才我们从向量大小的角度找到了单位向量，向量不仅有大小，还有方 向，同学们想一想 AB,CD,EF这三个向量的方向有何关系？ 生：AB与CD方向相同,AB与EF方向相反,CD与EF方向相反. 师：AB,CD,EF中有零向量吗？
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生：没有.
师：AB,CD,EF所在的线段之间的位置关系是什么？ 生：平行.
师：一般地，方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量，记作AB//CD. （板书：方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量,记作AB//CD.） 师：大家想不想知道零向量的方向？ 生：想.
师：我们规定，零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0//a. （板书：0//a.)
师：AB,CD在大小和方向上有何关系？ 生：长度相等，方向相同.
师：也就是AB和CD在向量的两个基本要素上完全相同，数学上将长度相 等且方向相同的向量叫做相等向量，记作AB?CD.
（板书：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,记作AB?CD.）
图4
师：如图4，OK与AB之间什么关系？那OK与CD之间什么关系？ 生：都是相等的.
师：既然相等，那就意味着可以用同一条有向线段OK来表示两个相等的非 零向量AB和CD，并且与有向线段的起点无关.换句话说，就是可以将 两个相等的非零向量AB和CD在平面内都平移到向量OK的位置，平移 后的向量与原来的向量相等. 类似地，也可以作向量OP与向量EF相 等. 此时，我们将一组平行向量AB,CD,EF都平移到了同一条直线上.
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因此，平行向量也叫做共线向量. （板书：共线向量?平行向量.）
【自主探究】讨论有向线段与向量之间的区别与联系？
[设计意图] 在上一个探究题目学生分组讨论，通过小组合作学习，体会向量可以在平面内可以任意平移，与表示向量的有向线段的起点无关. [教学片段]
生：我们小组讨论的结果是有向线段有三要素，即起点、长度、方向, 而向
量完全由它的方向和模决定，与起点无关.
4. 辨析概念 例题互动
【例1】 判断下面的说法是否正确.
(1) 向量的模的取值范围是(0,??). （×） (2) 若a与b都是单位向量，则|a|?|b|. （√） (3) 若a//b，则a与b的方向相同. （×） (4) 物理学中的作用力与反作用力是一对相等向量. （×） (5) 若|AB|?0，则AB?BA. （×）
[设计意图] 本节内容概念较多，容易混淆，这5个概念辨析题的设置基本上涵盖了本节中所有的新概念以及易错点，在辨析过程中加强学生对概念的理解与记忆.
[解法点评] 紧扣向量的相关概念，同时关注零向量.
【例2】如图5, 设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图5中与 . OA、O、BO相等的向量C
[设计意图] 让学生在寻找相等向量的过程中，进一步体会相等向量的概念. [教学片段] 学生板书：OA?CB?DO; OB?DC?EO; OC?AB?ED?FO.
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[解法点评] 抓住相等向量的两大要素，即长度相等和方向相同.
【变式】 如图6，设O是正六边形ABCDEF的中心，请在图中作出与OA共线的向量.
[设计意图] 学生分小组讨论，通过学生合作学习，进一步体会共线向量的概念以及共线向量和相等向量的区别.
[解法点评] ?怎么作？在图中找与线段OA平行或共线的线段，可以先找与之平行的线段，再找与之共线的线段；?从对比与向量OA相等和共线向量的结果看，可以得出怎样的结论？相等必共线，共线未必相等. [教学片段] 学生讨论.
5. 课堂小结 作业布置
【课堂小结】 有哪位同学能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？
表示法
平面向量的概念
零向量 模 平行向量（共线向量） 单位向量 相等向量 [设计意图] 由学生总结概括本节课所学习的主要内容，教师加以提炼. 并总结学习新概念的基本思路，即：
【作业布置】
(1) 习题2.1：第1题，第3题.
(2) 思考题：平行向量与平行线段的区别与联系？
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从同类具体事例中抽象出共同本质特征 下定义 符号表示 认识特殊对象 考查特殊关系
平面向量的实际背景及基本概念(刘娟)
