人教A版 高中数学必修4 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学设计
教材:人教A版高中数学必修4
课题:2.1 平面向量的实际背景及基本概念
授课教师:安徽省合肥市第一中学 刘娟
一. 教学内容解析
向量是近代数学重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用. 向量集数与形于一身,有着极其丰富的实际背景,在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小, 又有方向的量是它的物理背景,有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念,经过研究,建立起完整的知识体系之后,向量又作为数学模型,广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题,因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用.
本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用. 本节概念课,更为重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路,进而提高提出问题,分析问题,解决问题的能力.
本节课主要内容包括向量的物理背景与概念,向量的表示,相等向量与共线向量.
二. 教学目标设置
1. 了解向量的实际背景;
2. 理解平面向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念,掌握向量的几何表示;
3. 经历平面向量及其相关概念的形成过程,初步体会学习新概念的基本思路.
三. 学生学情分析
从学生已经学习过的知识中看,他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、单位长度、0和1的特殊性. 还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型,并且在三角函数线部分内容的学习中(必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质)已经接触到有向线段的概念,从而为本节课的
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学习提供了知识准备.
从学生现有的学习能力看,学生已经具备了一定的抽象概括的能力,因此,可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念.
学生在学习本节课内容过程中,对撇去实际背景后理解向量的概念,一时难以适应;向量的几何表示是向量概念的形象化(几何化),它是学生认识过程中的又一次飞跃,后继的向量运算,以及用向量方法解决几何问题,都是以此为基础. 学生的易混点是向量的几何表示(有向线段)与平面向量,学生的易错点是,在解决向量问题时,不能从向量的两个要素全面考虑,顾此失彼.
四.教学策略分析
本节课的难点是平面向量的概念,共线向量的概念,向量的几何表示的生成过程,突破策略主要是:
1. 创设问题情境,让学生从初步感悟生活中既有大小,又有方向的量开始,逐步增加信息,以期达到上升到理性认识所需的信息量;
2. 学生适度模仿抽象数量概念的过程,从同类事物中抽象概括得到向量的概念;
3. 学生比较向量和数量的区别,进一步理解向量概念;
4. 引导类比思考,让学生将已学习过的直线(段)平行和共线与共线向量这一新知之间建立联系;
5. 类比数的表示引出向量几何表示的必要性,从特殊向量(浮力)的有向线段表示推广到一般向量的几何表示,用直观的有向线段表示抽象的向量. 在本节课的教学中,主要以问题引领过程,通过教师引导、学生提问、师生交流、学生合作举例,让学生自主建构向量和共线向量的概念.这样做可使学生经历新概念产生的过程,从总体上认识新知识与原有知识的联系,在过程中感受学习新概念、解决新问题的方法.
五.重点与难点
1. 重点:向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示;
2. 难点:向量的概念和共线向量的概念,向量的几何表示的生成过程.
六.教学方法与教学手段
问题引导教学法,启发式教学,小组合作学习.
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七.教学过程
1. 创设情境 建构概念
【引例】 学生在教师节发来的一条祝福短信:
“刘老师您好,祝您教师节快乐!我考到了一个离合肥直线距离800公里的大城市读大学,目前在军训了,您猜我在哪个城市?”
[设计意图] 通过学生熟悉的问题情境,引发学生思考.只有大小,没有方向,并不能给出具体的位置,从而指出位移是一个既有大小, 又有方向的量. [教学片段]
师:经过百度地图的搜索,教师定位地图上离合肥800公里的大城市有天津、 西安、厦门三个.你能否确定是哪个城市呢?
生:不能.
师:为什么不能确定呢?
生:因为只知道从合肥到这个城市的位移的大小,并不知道方向. 师:这么说位移不仅要求有大小,而且有方向.
【问题1】 你能否再举出一些既有大小,又有方向的量?
[设计意图] 激活学生的已有相关经验.进一步直观演示,加深印象. 再追问有没有只有大小,没有方向的量的问题,通过两相对比,突显向量的两大要素.
[教学片段]
生:重力、浮力、弹力...
师:生活中有没有只有大小,没有方向的量? 生:年龄、身高、面积、体积等.
师:回顾学习数的概念,我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出 只有大小的数量“1”.类似地,我们可以对力、位移……这些既有大小, 又有方向的量进行抽象, 形成一种新的量.
师:数学中,我们把这种既有大小,又有方向的量叫做向量,而把那些只有 大小,没有方向的量称为数量.向量在物理学中常称为矢量,数量在物 理学中常称为标量.
【本章简介】 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算(运算律),
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从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.
[设计意图] 本节课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用,有必要对本节内容在数学学习研究中的地位做一个简要的介绍.回答平面向量这一章“是什么”、“为什么学”、“学什么”、“怎么学”,激发学生学习兴趣,明确学习任务,指明向量的研究对象及研究方法.
(板书:2.1 平面向量的实际背景及基本概念.) (板书:既有大小,又有方向的量叫做向量.)
2. 几何表示 理解概念
【问题2】 实数在数轴上是如何表示的?
[设计意图] 类比实数的点表示,寻求向量的几何表示. [教学片段]
生:可以用数轴上的点表示.
师:同学们都知道实数常常可以用数轴上的一个点来表示,而且不同的点表 示不同的实数.请同学们在数轴上画出表示实数0, 1的点,再画出表示 实数a的点.
生:在稿纸上画出数轴,并标注点的位置(如图1所示).
图1
师:实数a是一个数量,数轴上表示它的点是一个点A,一个点也是几何 图形,这里实际上就是用几何图形(数轴上的一个点)来表示了实数a, 数量可以这样,那么向量呢?我们能不能也找到一种几何图形来表示平 面向量呢?
【师生互动】 两回顾、一探究:回顾浮力在物理中如何表示,回顾实数中绝对值符号的使用,探究向量的几何表示和字母表示以及向量的模的字母表示.
[设计意图] ?用“带箭头的线段”表示浮力,是初中物理已学习过的内容,是学生的“最近发展区”,将这一内容再次进行条理化、系统化,是强化、固化新知的“停泊点”,让旧知自然地“生长”出新知.?在实数的两边画上两条平行、
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等长的竖线段表示“表示实数的点到原点的距离”,这是学生已经熟练掌握的绝对值的几何意义,将这一符号表示方法类比到向量的模的字母表示上是自然的.
[教学片段]
师:如图2,有两个木块浮在水面上,一个木块所受到的重力大小是10N, 另一个木块所受到的重力的大小为20N. 同学们试在练习纸中画出两 个物体所受到的浮力,练习纸中已经给出了表示10N的线段长度. 生:作图,并表示浮力(如图2所示).
10N
图2
师:表示这两个木块所受浮力大小的线段哪个更长? 生:表示浮力大小为20N的线段更长.
师:一般地,可以按一定比例画出一条线段,它的长短表示向量的大小. (板书设计:画一条线段,标注线段AB,也可记作线段a.)
师:我们用线段的长短表示了浮力的大小,那浮力的方向同学们又是如何表 示的呢? 生:用箭头表示的.
师:(板书设计:在已画的线段AB中,以A为起点,B为终点画一个箭头.) 一般地,可以用箭头表示向量的方向,这个图形就是一条线段上带了一 个箭头,有线段有箭头,如果给这个图形起一个形象点的名字,你会叫 它什么? 生:有向线段.
师:带有方向的线段叫做有向线段.
师:线段我们可以用AB、a来表示,有向线段该如何用字母表示呢? 师:以A为起点,B为终点的有向线段记作AB,或者用a,b,???表示 (板书:AB,a,b,???.)
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平面向量的实际背景及基本概念(刘娟)
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