人教A版 高中数学必修4 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学设计
教材：人教A版高中数学必修4
课题：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
授课教师：安徽省合肥市第一中学 刘娟
一. 教学内容解析
向量是近代数学重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用. 向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小, 又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用.
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用. 本节概念课，更为重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，分析问题，解决问题的能力.
本节课主要内容包括向量的物理背景与概念，向量的表示，相等向量与共线向量.
二. 教学目标设置
1. 了解向量的实际背景；
2. 理解平面向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念，掌握向量的几何表示；
3. 经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路．
三. 学生学情分析
从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性. 还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的
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学习提供了知识准备.
从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念.
学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础. 学生的易混点是向量的几何表示（有向线段）与平面向量，学生的易错点是，在解决向量问题时，不能从向量的两个要素全面考虑，顾此失彼.
四．教学策略分析
本节课的难点是平面向量的概念，共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程，突破策略主要是：
1. 创设问题情境，让学生从初步感悟生活中既有大小，又有方向的量开始，逐步增加信息，以期达到上升到理性认识所需的信息量；
2. 学生适度模仿抽象数量概念的过程，从同类事物中抽象概括得到向量的概念；
3. 学生比较向量和数量的区别，进一步理解向量概念；
4. 引导类比思考，让学生将已学习过的直线（段）平行和共线与共线向量这一新知之间建立联系；
5. 类比数的表示引出向量几何表示的必要性，从特殊向量（浮力）的有向线段表示推广到一般向量的几何表示，用直观的有向线段表示抽象的向量. 在本节课的教学中，主要以问题引领过程，通过教师引导、学生提问、师生交流、学生合作举例，让学生自主建构向量和共线向量的概念．这样做可使学生经历新概念产生的过程，从总体上认识新知识与原有知识的联系，在过程中感受学习新概念、解决新问题的方法．
五．重点与难点
1. 重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；
2. 难点：向量的概念和共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程．
六．教学方法与教学手段
问题引导教学法，启发式教学，小组合作学习．
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七．教学过程
1. 创设情境 建构概念
【引例】 学生在教师节发来的一条祝福短信：
“刘老师您好，祝您教师节快乐！我考到了一个离合肥直线距离800公里的大城市读大学，目前在军训了，您猜我在哪个城市？”
[设计意图] 通过学生熟悉的问题情境，引发学生思考.只有大小，没有方向，并不能给出具体的位置，从而指出位移是一个既有大小, 又有方向的量. [教学片段]
师：经过百度地图的搜索，教师定位地图上离合肥800公里的大城市有天津、 西安、厦门三个.你能否确定是哪个城市呢？
生：不能.
师：为什么不能确定呢？
生：因为只知道从合肥到这个城市的位移的大小，并不知道方向. 师：这么说位移不仅要求有大小，而且有方向.
【问题1】 你能否再举出一些既有大小，又有方向的量？
[设计意图] 激活学生的已有相关经验.进一步直观演示，加深印象. 再追问有没有只有大小，没有方向的量的问题，通过两相对比，突显向量的两大要素.
[教学片段]
生：重力、浮力、弹力...
师：生活中有没有只有大小，没有方向的量？ 生：年龄、身高、面积、体积等.
师：回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出 只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小, 又有方向的量进行抽象， 形成一种新的量.
师：数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有 大小，没有方向的量称为数量.向量在物理学中常称为矢量，数量在物 理学中常称为标量.
【本章简介】 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（运算律），
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从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.
[设计意图] 本节课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用，有必要对本节内容在数学学习研究中的地位做一个简要的介绍.回答平面向量这一章“是什么”、“为什么学”、“学什么”、“怎么学”，激发学生学习兴趣，明确学习任务，指明向量的研究对象及研究方法.
(板书：2.1 平面向量的实际背景及基本概念.) (板书：既有大小，又有方向的量叫做向量.)
2. 几何表示 理解概念
【问题2】 实数在数轴上是如何表示的？
[设计意图] 类比实数的点表示，寻求向量的几何表示. [教学片段]
生：可以用数轴上的点表示.
师：同学们都知道实数常常可以用数轴上的一个点来表示，而且不同的点表 示不同的实数.请同学们在数轴上画出表示实数0, 1的点，再画出表示 实数a的点.
生：在稿纸上画出数轴，并标注点的位置（如图1所示）.
图1
师：实数a是一个数量，数轴上表示它的点是一个点A，一个点也是几何 图形，这里实际上就是用几何图形（数轴上的一个点）来表示了实数a， 数量可以这样，那么向量呢？我们能不能也找到一种几何图形来表示平 面向量呢？
【师生互动】 两回顾、一探究：回顾浮力在物理中如何表示，回顾实数中绝对值符号的使用，探究向量的几何表示和字母表示以及向量的模的字母表示.
[设计意图] ?用“带箭头的线段”表示浮力，是初中物理已学习过的内容，是学生的“最近发展区”，将这一内容再次进行条理化、系统化，是强化、固化新知的“停泊点”，让旧知自然地“生长”出新知.?在实数的两边画上两条平行、
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等长的竖线段表示“表示实数的点到原点的距离”，这是学生已经熟练掌握的绝对值的几何意义，将这一符号表示方法类比到向量的模的字母表示上是自然的.
[教学片段]
师：如图2，有两个木块浮在水面上，一个木块所受到的重力大小是10N， 另一个木块所受到的重力的大小为20N. 同学们试在练习纸中画出两 个物体所受到的浮力，练习纸中已经给出了表示10N的线段长度. 生：作图，并表示浮力(如图2所示).
10N
图2
师：表示这两个木块所受浮力大小的线段哪个更长？ 生：表示浮力大小为20N的线段更长.
师：一般地，可以按一定比例画出一条线段，它的长短表示向量的大小. （板书设计：画一条线段，标注线段AB，也可记作线段a.）
师：我们用线段的长短表示了浮力的大小，那浮力的方向同学们又是如何表 示的呢？ 生：用箭头表示的.
师：（板书设计：在已画的线段AB中，以A为起点，B为终点画一个箭头.） 一般地，可以用箭头表示向量的方向，这个图形就是一条线段上带了一 个箭头，有线段有箭头，如果给这个图形起一个形象点的名字，你会叫 它什么？ 生：有向线段.
师：带有方向的线段叫做有向线段.
师：线段我们可以用AB、a来表示，有向线段该如何用字母表示呢？ 师：以A为起点，B为终点的有向线段记作AB，或者用a,b,???表示 （板书：AB，a,b,???.）
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