黄冈中学2016年自主招生（理科实验班）预录考试 数学模拟试题（C卷） 时间120分钟，满分120分 一、选择题（每小题5分，共30分） 22-21．已知实数α、β满足α+3α-1=0，β-3β-1=0，且αβ≠1，则α+3β的值为（ ） A．1 B．3 C．-3 D．10 2．在△ABC中，BC=3，内切圆半径r?3，则21Btan2?1Ctan2的值为（ ） A．32333 B． C． D．23 232b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2??3．设a、b、c为实数，abc≠0，且a+b=c,则的值为（ ） 2bc2ca2ab A．-1 B．1 C．2 D．3 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （第4题图） （第5题图） （第6题图）
5.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（ ）
A． 2 B．3 C．4 D．5
6.如图，点P（﹣1，1）在双曲线上，过点P的直线l1与坐标轴分别交于A、B两点，且
tan∠BAO=1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（ ）
FDA A．10 B． 8 C． 6 D． 不确定
二、填空题（每小题5分，共30分）
7.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为
E _____________.
8. 如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C
BGHC落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 cm Q9.甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，第14题图丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 分．
10.已知整数x、y满足21x?20y?13?15xy，则x y= . 11.在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB于M，交AC边于N，CM与BN交于点P，若AN=1，
则S△CPN-S△BPM= .
12.设有n个数x1,x2,?,xn,它们每个数的值只能取0，1，-2三个数中的一个，且
555x1?x2???xn??5,x1?x2???xn的值是 .
三、解答题（共60分）
13.（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC=PG．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2=BF?BO．求证：点G是BC的中点；
（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4
14.(10分)正数m,n满足m?4mn?2m?4n?4n?3，求
，求BG的长．
m?2n?23的值.
m?2n?20172a4?3xa2?293??15.(10分)已知a?a?1?0，且3，求x的值.
a?2xa2?a1122
16（15分）.某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
17.（15分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）． （1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式； （4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．
参 考 答 案
一、选择题（每小题5分，共30分） 1．D 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 二、填空题（每小题5分，共30分）
7． 2017 8. 12 9. 336 10. 6 11.
1 812. -125
三、解答题（共60分）
13. 解（1）证明：连OC，如图，∵ED⊥AB，∴∠FBG+∠FGB=90°， 又∵PC=PG，∴∠1=∠2，而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，∴∠1+∠4=90°，∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：连OG，如图，∵BG2=BF?BO，即BG：BO=BF：BG， 而∠FBG=∠GBO，∴△BGO∽△BFG， ∴∠OGB=∠BFG=90°，即OG⊥BG， ∴BG=CG，即点G是BC的中点；
（3）解：连OE，如图，∵ED⊥AB，∴FE=FD， 而AB=10，ED=4
，∴EF=2
，OE=5， =
=1，
．
即OC⊥PC，
在Rt△OEF中，OF=
∴BF=5﹣1=4，∵BG2=BF?BO，∴BG2=BF?BO=4×5，∴BG=2
14.解：由m?4mn?2m?4n?4n?3变形得
(m?2n?3)(m?2n?1)?0
∵∴
15.解：由a2?a?1?0得，a?m?2n?1?0 m?2n?3，∴
m?2n?233?231 ???3?2017101m?2n?201711?1，∴a2?2?3 aa1)?3x2932?3?3x93a 又由已知得，，即， ????11?2x112112(a?)?2xa51解得x?
102(a2?
16. 解：（1）①当2≤x＜8时，如图，
设直线AB解析式为：y=kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：
，解得
②当x≥8时，y=6．
∴A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y=（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨． ①当2≤x＜8时，wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；
．
，∴y=﹣x+14；
wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x ∴w=wA+wB﹣3×20
=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60 =﹣x2+7x+48；
当x≥8时，wA=6x﹣x=5x；
wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x ∴w=wA+wB﹣3×20=（5x）+（108﹣6x）﹣60=﹣x+48． ∴w关于x的函数关系式为：w=
．
②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均不合题意； 当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18．
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨． （3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化简得：x=3m﹣60．
①当2≤x＜8时，wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x； wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12 ∴w=wA+wB﹣3×m=（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12． 将3m=x+60代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64 ∴当x=4时，有最大毛利润64万元，此时m=
，m﹣x=
；
②当x＞8时，wA=6x﹣x=5x；
wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12 ∴w=wA+wB﹣3×m=（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m=﹣x+3m﹣12． 将3m=x+60代入得：w=48 ∴当x＞8时，有最大毛利润48万元． 综上所述，购买杨梅共
吨，其中A类杨梅4吨，B类
吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．
17. 解：（1）当点N落在BD上时，如图1．∵四边形PQMN是正方形， ∴PN∥QM，PN=PQ=t．∴△DPN∽△DQB．∴∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4， ∴∴当t=
时，点N落在BD上．
． ． ∴t=
．
（2）①如图2，则有QM=QP=t，MB=4﹣t．
∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥DQ．∵点O是DB的中点，∴QM=BM． ∴t=4﹣t．∴t=2．
②如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°． ∵AB=4，AD=3， ∴DB=5． ∵点O是DB的中点，∴DO=． ∴1×t=AD+DO=3+． ∴t=
．
．
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜（3）①当0＜t≤②当
时，如图4．S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．
=
，∴
=．∴PG=4﹣t．
＜t≤3时，如图5，∵tan∠ADB=
﹣4．
∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣t）=
黄冈中学2016年自主招生试题[1]
