专题05 三角函数与解三角形(讲)(解析版)

由天下分享时间：2024/11/20 2:40:43 加入收藏我要投稿点赞

专题05 三角函数与解三角

1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，

A．

【答案】B

【解析】Q2sin2α?cos2α?1，?4sinα?cosα?2cosα.Qα??0,2?2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）

33 D．15 B．55 C．255

?????,?cosα?0，sinα?0, 2?15． ?2sinα?cosα，又sin2??cos2??1，?5sin2α?1,sin2α?，又sin??0，?sin??55【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．

2．【2019年高考天津卷理数】已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??)是奇函数，将y?f?x?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g?x?．若g?x?的最小正周期为2π，且g()??42，则f(3?)?（） 8D．2

．?2 【答案】C

B．?2 C．2

【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)?Asin??0,??=kπ,k?Z,?k?0,??0；

又g(x)?Asin12ππ?x,?T??2π,∴??2，又g()?2，∴A?2，

124?23π ∴f(x)?2sin2x，f()?2.故选C.

8【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数g?x?，再根据函数性质逐步得出A,?,?的值即可.

3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b?6,a?2c,B?π，则 3△ABC的面积为_________．

【答案】63 【解析】由余弦定理得b2?a2?c2?2accosB，所以(2c)?c?2?2c?c?221?62，即c2?12， 2解得c?23,c??23（舍去），所以a?2c?43，S△ABC?113acsinB??43?23??63. 222【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设

(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC．

（1）求A；（2）若2a?b?2c，求sinC．【答案】（1）A?60?；（2）sinC?6?2. 4【解析】（1）由已知得sin2B?sin2C?sin2A?sinBsinC，故由正弦定理得b2?c2?a2?bc．

b2?c2?a21由余弦定理得cosA??．因为0??A?180?，所以A?60?．

2bc2（2）由（1）知B?120??C，由题设及正弦定理得2sinA?sin120?C?2sinC，

???即6312． ?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????2222由于0??C?120?，所以sinC?60????2，故 2sinC?sin?C?60??60???sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60??6?2．

4【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角

之间的关系.

一、考向分析：

三角函数与解三角形三角函数求值三角函数图象与性质三角恒等变形解三角形三角函数与解三角形

二、考向讲解考查内容三角函数求值解题技巧三角函数求值的3类求法 1．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。 2．“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。 3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角。三角恒等变形三角恒等变形时，要注意三看：角、名、形 α?α1．角：观察角之间的关系，如α＝(α＋β)－β，＝2??4?等，通过观察角之间的差别与联2系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。 2．名：观察三角函数的名称之间的关系，如sinα，cosα，tanα的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。 3．形：观察已知与未知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。三角函数图象与性质 1．已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解。但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错。 2.三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路（1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形

式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式。 2π（2）周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，ωπ函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解。 ω（3）对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断。 3.图象变换注意事项： φ（1）由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个ω单位长度。（2）平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值。 4. 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 M－mM＋m（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝。 222π（2）求ω，确定函数的周期T，则ω＝。 T（3）求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入。 ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口。 1. 解三角形即求三角形中的一些基本量，主要指求三角形的三边、三角等，它的实质是将几何问题转化为代数问题，解题关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题步骤，利用三角形内角和定理、正弦定理及余弦定理等工具进行边角关系的互化。解三角形 2．判断三角形形状主要有以下两种途径 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。 (2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。 3.三角形面积公式的应用原则 111(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公222式。 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化。

三角函数与解三角形 1、利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解。（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。 2、解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大。考查三角函数求值：

π1

－π，－?，且sinα＝－，则cosα＝( ) 【例1】已知α∈?4??322A．－

322C．±

3【答案】A

ππ12

－π，－?，且sinα＝－>－＝sin?－?，所以α为第三象限角，所以cosα＝－【解析】因为α∈?4???4?32

1－sin2α＝－

【例2】已知

122

－?2＝－1－?。 ?3?3

22B．

32D． 3