质，正确的识别图形是解题的关键． 21．（8分）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数； （2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数． 例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数． 证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝
∵0＜x1＜x2，
﹣＝＝．
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0． ∴
＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）═（x＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）＝
+x（x＜0），
f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝ ﹣ ，f（﹣4）＝ ﹣ ；
（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是 增 函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题； （2）由（1）结论可得；
（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立． 【解答】解：（1）∵f（x）＝
+x（x＜0），
∴f（﹣3）＝﹣3＝﹣，f（﹣4）＝﹣4＝﹣
故答案为：﹣，﹣
（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3） ∴函数f（x）＝故答案为：增 （3）设x1＜x2＜0， ∵f（x1）﹣f（x2）＝
+x1﹣
﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣
）
+x（x＜0）是增函数
∵x1＜x2＜0，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0 ∴f（x1）＜f（x2） ∴函数f（x）＝
+x（x＜0）是增函数
【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
22．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G． （1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （2）①证明△ADM∽△GMN，可得
＝
，由此即可解决问题．
②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥
DG于H．分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8， ∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x． 在Rt△ABF中，BF＝∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）＝x+4， ∴x＝3， ∴EC＝3．
（2）①如图2中，
2
2
2
＝6，
∵AD∥CG， ∴
＝
，
∴＝，
∴CG＝6， ∴BG＝BC+CG＝16， 在Rt△ABG中，AG＝在Rt△DCG中，DG＝∵AD＝DG＝10， ∴∠DAG＝∠AGD，
∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM， ∴∠ADM＝∠NMG， ∴△ADM∽△GMN， ∴∴∴y＝当x＝4
②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，
＝
， ＝
，
＝8
，
＝10，
x﹣
2
x+10．
时，y有最小值，最小值＝2．
∵∠MDN＝∠GMD，∠DMN＝∠DGM， ∴△DMN∽△DGM， ∴
＝
，
∵MN＝DM， ∴DG＝GM＝10， ∴x＝AM＝8
﹣10．
如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．
∵MN＝DN， ∴∠MDN＝∠DMN， ∵∠DMN＝∠DGM， ∴∠MDG＝∠MGD， ∴MD＝MG， ∵BH⊥DG， ∴DH＝GH＝5， 由△GHM∽△GBA，可得∴
＝
，
＝
，
∴MG＝∴x＝AM＝8
， ﹣
＝
．
﹣10或
．
综上所述，满足条件的x的值为8
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
山东省济宁市2024中考数学试题（解析版）-精编
