【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式＝6×＝2024．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
阅读时间t（小时） 0≤t＜0.5 0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 1.5≤t＜2 2≤t＜2.5 根据图表解答下列问题： （1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝ 3 ，n＝ 30% ；
（2）此次抽样调查中，共抽取了 50 名学生，学生阅读时间的中位数在 1≤t＜1.5 时间段；
（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？
人数 4 占女生人数百分比 20% 15% 25% ，
m 5 6 2 n 10%
【分析】（1）由0≤t＜0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；
（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得； （3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）女生总人数为4÷20%＝20（人）， ∴m＝20×15%＝3，n＝故答案为：3，30%；
（2）学生总人数为20+6+5+12+4+3＝50（人），
这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在1≤t＜1.5范围内，
∴学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段， 故答案为：50，1≤t＜1.5；
（3）学习时间在2～2.5小时的有女生2人，男生3人．
×100%＝30%，
共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是
＝．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 18．（7分）如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请说明作图理由．
【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图； （2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等； （2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
19．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系． 请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度； （2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由图可得， 小王的速度为：30÷3＝10km/h，
小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20km/h， 答：小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：30×20＝1.5h， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15km， ∴点C的坐标为（1.5，15），
设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
，得
，
即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y＝30x﹣30（1≤x≤1.5）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
的中点，E为OD延长线上一
【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB＝∠C，求得tanC＝tan∠ODB＝，设HF＝3x，DF＝4x，根据勾股定理得到DF＝
，HF＝
＝
，根据相似三角形的性质得
到CF＝＝，求得AF＝CF＝，设OA＝OD＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵D是∴OE⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴∠E+∠EAF＝90°，
的中点，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE， ∴∠E+∠AOE＝90°， ∴∠EAO＝90°， ∴AE是⊙O的切线； （2）∵∠C＝∠B， ∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴tanC＝tan∠ODB＝
＝，
∴设HF＝3x，DF＝4x， ∴DH＝5x＝9， ∴x＝， ∴DF＝
，HF＝
，
∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD， ∴△DFH∽△CFD， ∴
＝
，
∴CF＝＝，
∴AF＝CF＝，
设OA＝OD＝x， ∴OF＝x﹣
2
2
，
2
∵AF+OF＝OA， ∴（
）+（x﹣
2
）＝x，
22
解得：x＝10， ∴OA＝10，
∴直径AB的长为20．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性
山东省济宁市2024中考数学试题（解析版）-精编
