量子力学的矩阵形式及表象变换(曾谨言4.5)
一个量子态可以在不同表象中表示出来的概念.作为对量子态进行运算的算符当然也因之有不同表象的问题.在许多量子力学教科书中把它讲的过分抽象.以下用大家熟悉的解析几何中的坐标及坐标变换作为类比,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念. 4.5.1 量子态的不同表象,么正变换
如图4.2平面(二维)上的直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1.彼此正交,即
?e,e???ijij ?i,j?1,?2 (1)
?e,e?表示基矢e和eijij的标积.这一组基矢是完备的,因为平面上任何一个矢量A,均可用它
x2们来展开:
A?A1e1?A2e2 (2)
?x2?A2其中
A2AA1??e1,A?A2=?e2,A? (3)
e2?e?2分别代表矢量A与两个基矢的标积,即A在两个坐标轴上的投影(分量).当A1,A2确定之后,就完全确定了平面上一个矢量.因此,可以认为?A1,A2?是矢量A在坐标系x1x2中的表示.
?,相当于原来坐标系顺时针转现在假设另取一个直角坐标系x1?x2?,e2?表示.而 过?角,其基矢分别用e1?e1?e1A1?A1x1?x1图 4.2
?e?,e????ijij ?i,j?1,?2 (1’)
同一个矢量A,在此新坐标系中表示为
??A2?e2? (2’) A?A1?e1其中
?,A?A1???e1?=?e2?,A? (3’) A2?A1?,A2??是矢量A在坐标系x1?x2?中的表示.
现在要问:同一个矢量A在不同坐标系中的表示,有什么关系? 显然,根据式(2)及(2’),
??A2?e2? (4) A?A1e1?A2e2?A1?e1?,e2?点乘(取标积),得 上式分别用e1??e1??A2?e1??e2?A1??A1?e1??A1?e2??e1??A2?e2??e2?A2
若表示成矩阵形式,则为
??e1??A1????e1???????A2???e2?e1?或记为
?e1??e2???A1??cos???????e?e?22???A2??sin??A1???A1??R????? ???A?2??A2??sin???A1???? (5) cos???A2?其中
?cos?R??????sin??sin??? (6) cos???A??A??这就表明,同一矢量A,在不同的坐标系中用不同的列矢?1?和?1?来表示,而它们之间通过一
???A2??A2个变换矩阵R???来联系.显然
detR?cos?sin??sin???1 (7) cos?RR?RR?1 (R是R的转置矩阵) (8)
这种矩阵称为真正交矩阵.又因为
R*?R (实矩阵) (9)
所以R??R*?R.因此式(8)也可表示成
R?R?RR??1 (10)
即R也是么正矩阵.因此,同一个矢量在不同坐标系中的表示通过一个么正矩阵联系起来.
形式上与此相似,在量子力学中,按态叠加原理,任何一个量子态?,可以看成抽象的希尔伯特空间的一个“矢量”.体系的任何一组力学量完全集F的共同本征态(简记为?k,k代表一组量子数,为清楚起见,在本节中,假设是离散谱)可以用来构成此态空间的一组正交归一完备的基矢,即
??而体系任何一个态?可以用它们展开
j,?k???jk (11)
???ak?k (12)
k其中
ak???k,?? (13)
这一组数?a1,a2,可数的(连续谱情况).
?,也是正交归一完备的, 现在来考虑另一组力学量完全集F?，其共同本征态为???就构成矢量?在F表象中的表示,它们分别是?与各基矢的标积.在这里
有两点与平常解析几何不同:(1)这里“矢量”一般是复矢量.(2)空间维数可以是无穷,有时甚至是不
???,?????????? (11’)
而同一个态?也可以用它们来展开
???? (12’) ???a?其中
??????,?? (13’) a??a1?,a2?,?这一组数就是态?在F?表象中的表示.它和?在F表象中的表示?a1,a2,?有什么联系?
显然
???? (14) ???ak?k??a?k??*,取标积,利用基矢的正交归一性,得 上式左乘??k???????*??k?ak??S?kak (15) a?k其中
?*??k? (16) S?k????是F?表象的基矢与F表象的基矢的标积.把式(15)表示成矩阵形式,则为
?a1???S11?????a2???S21??????S12S22??a1??????a2? (17) ??????或简记为
a??Sa (17’)
式(17)就是同一个量子态?在F表象和F?表象中的不同表示的关系,它们通过一个矩阵S相联系.可以证明
S?S?S?S?1 (18)
即变换矩阵S乃是一个么正矩阵,所以变换也称为么正变换. 4.5.2 力学量(算符)的矩阵表示
仍以平面矢量作类比.平面上任一矢量.平面上任一矢量A,逆时针转动?角后,变成另外一个矢量B.在x1x2坐标系中,它们分别表示成
A?A1e1?A2e2B?B1e1?B2e2 (19)
试问B与A有什么关系?令
x2BAx2?x1Re2?e2Re1e1?x1图4.3 图4.4
R???代表沿逆时针方向把矢量转过?角的一个运算.用分量形式写出
B1e1?B2e2?A1R???e1?A2R???e2 用e1点乘,得 用e2点乘,得 所以
B1?A1?e1?Re1??A2?e1?Re2? B2?A1?e2?Re1??A2?e2?Re2?
?B1???e1?Re1??????B2???e2?Re1??e1?Re2???A1??cos??????e?Re?22???A2??sin??sin???A1???? (20) cos???A2?上式表明,平面上任何一矢量A,经过转动运算后变成矢量B,把矢量沿逆时针方向转过?角的运算用矩阵R???刻画,有
?cos?R??????sin??sin??? (21) cos??这个矩阵的矩阵元是刻画基矢e1,e2在转动下如何变化的,其中第一列元素
?R11??cos??????? Rsin???21??是基矢e1转动后[变成
量子力学的矩阵形式及表象变换
